Transformée en Z

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La transformée en Z est un outil mathématique de l'automatique et du traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformée de Laplace.

Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.

Définition[modifier | modifier le code]

Sa définition mathématique est la suivante : la transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que

S(z) = \mathcal{Z}\{s(n)\} =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(n)z^{-n},\quad z \in \{z\in\mathbb{C}|\sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(n)z^{-n} \quad \mathrm{converge}\}

La variable n représente en général le temps discrétisé, la variable complexe z n'est qu'un être mathématique. Lorsqu'on travaille sur s(n) on dit que l'on est dans le domaine temporel, lorsqu'on travaille sur S(z) le domaine est appelé fréquentiel par analogie avec la transformée de Fourier.

Si \forall n<0,\ s(n)=0, on parle de signal causal. Inversement, si \forall n>0,\ s(n)=0, on parle de signal anti-causal.

Pour les signaux causaux, on peut aussi utiliser la transformée en Z monolatérale :

\mathcal{Z}_{+}\left\{ s\left( n\right) \right\} =\sum_{n=0}^{+\infty
}s\left( n\right) z^{-n}

Existence de la transformée en Z[modifier | modifier le code]

Le domaine de convergence est le sous-ensemble de \mathbb{C} dans lequel la série converge.
Autrement dit, le domaine de convergence de la transformée en z de la suite (x(n))_{n\in\mathbb{Z}} est l'ensemble :

\left\{z\in\mathbb{C} | \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \quad\mathrm{existe}\right \}

Le sous-ensemble de \mathbb{C} dans laquelle cette série converge absolument est appelé la couronne de convergence[1]. En posant z=\rho e^{i\theta}~, il vient :

|S(z)|=\left| \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}\right|\leqslant \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left|x(n)\right|\rho^{-n}=\lim_{N,M\rightarrow \infty }S_{N,M}\left( \rho \right), avec S_{N,M}\left( \rho \right)=\sum_{n=-N}^{M}\left\vert x(n)\right\vert\rho ^{-n}.

Le domaine de convergence absolue de S(z) est donc une couronne

\mathcal{C}_{c}=\left\{ z\in \mathbb{C} :\rho _{1}\prec \left\vert z\right\vert \prec \rho _{2}\right\}

 \prec signifie à chaque fois  < ou \leq et où l'inégalité (large ou stricte) \left\vert z\right\vert \succ \rho _{1} (resp. \left\vert z\right\vert \prec\rho _{2}) est la condition nécessaire et suffisante pour que S_{N,M}\left( \rho \right) ait une limite finie lorsque M (resp. N) tend vers +\infty. Explicitement[2],

\rho _{1}=\limsup_{n\rightarrow +\infty }\sqrt[n]{\left\vert
x(n)\right\vert },\quad\rho _{2}=\liminf_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{\sqrt[n]{\left\vert
x(-n)\right\vert }}.

Dans toute la suite de l'article, la couronne de convergence \mathcal{C}_{c} est supposée non vide et les transformées en Z sont valides pour z\in \mathcal{C}_{c} seulement.

Propriétés de la transformée en Z[modifier | modifier le code]

On montre les propriétés énoncées ci-dessous[3] :

Linéarité[modifier | modifier le code]

La transformée en Z d'une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal.

\mathcal{Z}\{a_1 x_1(n) + a_2 x_2(n)\} = a_1 \mathcal{Z}\{x_1(n)\} + a_2 \mathcal{Z}\{x_2(n)\}  \

Décalage temporel[modifier | modifier le code]

Le décalage temporel d'un signal de k échantillons se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z−k.

\mathcal{Z}\{x(n-k)\} = z^{-k}\mathcal{Z}\{x(n)\}.~

Avance[modifier | modifier le code]

Lorsqu'on utilise la transformée en Z monolatérale (voir ci-dessus), on obtient

\mathcal{Z}_{+}\left\{ x\left( n+k\right) \right\} =z^{k}\left[ \mathcal{Z}
_{+}\left\{ x\left( n\right) \right\} -\sum_{j=0}^{k-1}x\left( j\right)
z^{-j}\right]

Convolution[modifier | modifier le code]

La transformée en Z d'un produit de convolution est le produit des transformées en Z

\mathcal{Z}\{x * y\} = \mathcal{Z}\{x\} \mathcal{Z}\{y\} \

\left( x\ast y\right) \left( n\right) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x\left(
n-k\right) y\left( k\right) .

En effet,

\begin{array}{c}
Z\left( \left\{ x\star y\right\} \right) \left( z\right)
=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }\left\{ x\star y\right\} \left( n\right)
z^{-n} \\ 
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad
=\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }\sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty
}x\left( n-k\right) y\left( k\right) z^{-(n-k)}z^{-k} \\ 
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\sum\limits_{m=-\infty
}^{+\infty }\sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }x\left( m\right) y\left(
k\right) z^{-m}z^{-k} \\ 
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad
=\left( \sum\limits_{m=-\infty }^{+\infty }x\left( m\right) z^{-m}\right)
\left( \sum\limits_{k=-\infty }^{+\infty }y\left( k\right) z^{-k}\right) 
\end{array}

Multiplication par une exponentielle[modifier | modifier le code]

\mathcal{Z}\{a^{n}x(n)\} = X\left(\frac{z}{a}\right) avec X(z) transformée en Z de la suite x(n)

Multiplication par la variable d'évolution[modifier | modifier le code]

De façon générale :

\mathcal{Z}\{n^{k}x(n)\} = \left(-z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}\right)^{k}\mathcal{Z}\{x(n)\}\

\textstyle\left(-z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}\right)^{k}\mathcal{Z}\{x(n)\} signifie que l'on applique k fois à \mathcal{Z}\{x(n)\} l'opérateur \textstyle -z\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}

Si l'on écrit cette formule au rang k=1, on obtient la formule de dérivation :

\mathcal{Z}\{nx(n)\} = -z \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}z}X(z)\

Théorème de la valeur initiale[modifier | modifier le code]

Soit x(n)\, un signal causal et X(z)\, sa transformée en Z. Alors :

x(0) = \lim_{n \to 0}x(n)=\lim_{z \to +\infty}X(z)

Théorème de la valeur finale[modifier | modifier le code]

Soit x(n)\, un signal causal et X(z)\, sa transformée en Z. Alors lorsque la limite existe, on peut écrire :

\lim_{n \to +\infty}x(n)=\lim_{z \to 1}(z-1)X(z)

Transformée en Z inverse[modifier | modifier le code]

La transformée en Z inverse est donnée par :

 x(n) = \mathcal{Z}^{-1} \{X(z) \}= \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C} X(z) z^{n-1}\mathrm dz \

C est un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et appartenant entièrement au domaine de convergence.

En pratique, ce calcul s'effectue souvent à l'aide du théorème des résidus et la formule devient dans le cas d'un signal causal :

x(n) = \sum_{
z_k={\rm p\hat{o}les\; de\; } z^{n-1}X(z)
}
\operatorname{Res}\{z^{n-1}X(z)\}_{z=z_k}\,

Relation avec les autres transformées[modifier | modifier le code]

Transformée de Laplace[modifier | modifier le code]

Théorème — Soit x un signal, supposé être une fonction indéfiniment dérivable, et (avec un abus d'écriture, en notant une distribution comme une fonction)

\Delta\left( t\right) =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }\delta \left(
t-nT\right)

le peigne de Dirac (qui appartient à l'espace des distributions tempérées \mathcal{S}^{\prime}). Le signal échantillonné, défini par[4] x_{e}=x\Delta, est une distribution qu'on peut écrire sous la forme

x_{e}\left( t\right) =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }x\left( nT\right)
\delta \left( t-nT\right) =\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }x\left[ n
\right] \delta \left( t-nT\right).

La correspondance p \mapsto z=e^{pT} est une surjection de la bande de convergence de la transformée de Laplace X_e(p) du signal échantillonné x_{e} (en supposant cette bande de convergence non vide) sur la couronne de convergence de la transformée en Z X(z) de la suite de terme général x[n], et l'on a

X_{e}\left( p\right) =X\left( z\right) \left\vert _{z=e^{pT}}\right. .

Transformée de Fourier et transformée de Fourier discrète[modifier | modifier le code]

Si le cercle unité appartient à la couronne de convergence \mathcal{C}_{c}, la transformée de Fourier de la suite  (x[n]) \ s'obtient en prenant la restriction de la transformée en Z de cette suite au cercle unité, c'est-à-dire en posant z=e^{i\theta }. La transformée de Fourier est en effet la fonction 2\pi-périodique \theta \mapsto X\left( e^{i\theta }\right) (elle est 2 \pi/T-périodique si l'on pose \theta = \omega T et qu'on prend comme variable la pulsation \omega ). Si  (x[n]) \ est une suite de nombres réels, on a X\left( e^{-i\theta }\right) =\overline{X\left( e^{i\theta }\right) }, par conséquent \theta peut être supposé varier dans l'intervalle \left[ 0,\pi \right[ .

La transformée de Fourier peut se définir pour des suites à croissance lente (elle est alors une distribution 2\pi-périodique) et la transformée en Z à partir de cette transformée de Fourier plus générale (voir la démonstration ci-dessus)[8].


Il existe également une relation entre la transformée en Z et la transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD d'un signal \left\{ x_{n}\right\} de support \left\{ 0,1,...,N-1\right\} est obtenue en évaluant X(z) en z=e^{i\frac{2\pi k}{N}} (avec \qquad k=0,1,...,N-1).

Transformées en Z usuelles[modifier | modifier le code]

Ci-dessous, \delta[n] \, représente l'impulsion unitaire ou « suite de Kronecker » (égale à 1 pour n = 0 et à 0 sinon ; elle peut également s'écrire \delta _{0}^{n}, où \delta _{i}^{j} est le symbole de Kronecker) ; d'autre part, u[n] \, désigne l'échelon unitaire (égal à 1 pour n\geq 0 et à 0 sinon).

Transformées en Z
Signal x(n) Transformée en Z X(z) Domaine de convergence
1 \delta[n] \, 1\,  \mathbb{C}\
2 u[n] \,  \frac{1}{1-z^{-1}} |z| > 1\,
3 n u[n] \,  \frac{z^{-1}}{(1- z^{-1})^{2}}  |z| > 1\,
4 a^n u[n] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| > |a|\,
5 n a^n u[n] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
6 -a^n u[-n-1] \,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| < |a|\,
7 -n a^n u[-n-1] \,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }  |z| < |a|\,
8 \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
9 \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
10 a^n \cos(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,
11 a^n \sin(\omega_0 n) u[n] \,  \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Bourlès 2010, §12.3.5
  2. D'après Lang 1993, §II.2
  3. Bourlès 2010, §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barrière 1966, Chap. II
  4. Bourlès 2010, §10.2.3
  5. On a interverti à une étape du calcul \mathcal{F} et \sum, ce qu'on peut justifier (Schwartz 1965, §V.5)
  6. Bourlès 2010, §12.3.2
  7. Pallu de la Barrière 1966, Chap. 10, §4, Lemme 9.
  8. Bourlès 2010, §§12.3.3, 12.3.5

Références[modifier | modifier le code]

  • Henri Bourlès, Linear Systems, John Wiley & Sons,‎ 2010, 544 p. (ISBN 1848211627)
  • Serge Lang, Complex Analysis (3rd ed.), Springer,‎ 1993, 458 p. (ISBN 0387978860)
  • Robert Pallu de la Barrière, Cours d'automatique théorique, Dunod,‎ 1966
  • Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann,‎ 1965

Voir aussi[modifier | modifier le code]