Relation de Chasles

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La relation de Chasles porte le nom de Michel Chasles, mathématicien français du XIX^e siècle. Elle était connue depuis déjà quelque temps mais les travaux de Michel Chasles en géométrie justifient qu'on lui en attribue en quelque sorte la paternité.

• Initialement associée à la géométrie, pour décrire une relation entre vecteurs dans un espace affine, la relation de Chasles s'écrit de la manière suivante :

Pour des points A, B et C d'un espace affine :

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

• On retrouve aussi cette propriété pour décrire une relation entre des angles orientés en géométrie plane :

Pour des vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ non nuls :

$(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})\equiv (\vec{u},\vec{w})\quad [2\pi]$

• On la trouve aussi pour exprimer des mesures algébriques sur une droite orientée :

Pour des points A, B et C d'une droite orientée :

$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$

• Il existe une relation de Chasles dans le rapport anharmonique de nombres complexes.

• Elle existe aussi dans le calcul intégral :

Si f est une fonction intégrable sur un intervalle I, alors pour tous a, b et c dans I :

$\int_{a}^{b}{f(x)\mathrm{d}x}+\int_{b}^{c}{f(x)\mathrm{d}x}=\int_{a}^{c}{f(x)\mathrm{d}x}.$

• Dans le cas de sommes on dispose d'une relation analogue au cas de l'intégration, à ceci près que l'ordre des bornes importe et que la deuxième somme débute au rang suivant la fin de la première ; plus formellement, sous la condition $m \leq n < p$,

$\sum_{k=m}^{n}{x_{k}}+\sum_{k=n+1}^{p}{x_{k}}=\sum_{k=m}^{p}{x_{k}}.$