Sinus hyperbolique

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Graphe de la fonction sinus hyperbolique sur une partie de ℝ

Le sinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction sinus hyperbolique, notée sinh (ou sh)[1] est la fonction complexe suivante :

\sinh:z\mapsto\frac{e^z-e^{-z}}2

\scriptstyle z\mapsto e^z est l'exponentielle complexe.

La fonction sinus hyperbolique est la partie impaire de l'exponentielle complexe.

La fonction sinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction sinus dans la géométrie hyperbolique.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Propriétés trigonométriques[modifier | modifier le code]

De par les définitions des fonctions sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

e^z = \cosh(z) + \sinh(z) \,
e^{-z} = \cosh(z) - \sinh(z) \,

Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :

\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1 \,.

D'autre part, pour x \in \mathbb R :

\sinh(i x) = \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i \sin(x)
\sinh(x) = -i \sin(i x) \,
\sinh(x+y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y) \,
\sinh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\cosh(x)-1}{2}

L'utilisation de formules trigonométriques telles que tan(2t) = (2 tan t)/(1-tan2 t) permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel x non nul) :

\sinh(x) = \frac {-1} {\tan(2 \times \mathrm{Arctan}(e^x))} ;

voir également l'article Gudermannien

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

La série de Taylor de la fonction sinh converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

\sinh z = z + \frac {z^3} {3!} + \frac {z^5} {5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}

Valeurs[modifier | modifier le code]

Quelques valeurs de sinh :

  • \sinh(0) = 0 \,
  • \sinh(1) = \frac {e^2-1}{2e}
  • \sinh(i) = i \sin(1) \,

Zéros[modifier | modifier le code]

Tous les zéros de \sinh sont des imaginaires purs : z\in \mathbb{C}, \sinh(z)=0 \Leftrightarrow z \in i\pi\Z.

Fonction réciproque[modifier | modifier le code]

Graphe de la fonction argument sinus hyperbolique sur une partie de ℝ

sinh admet une fonction réciproque, notée arsinh (ou argsinh ou argsh ou parfois sinh-1)[2], et nommée argument sinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction multiforme complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments \left]-\infty i;-i\right[ et \left]i;+\infty i\right[.

\operatorname{arsinh}(z) = \ln\Big(z + \sqrt{1+z^2}\Big)

La restriction-corestriction de sinh de ℝ dans ℝ admet une réciproque : \operatorname{arsinh}(x)= \ln\Big(x + \sqrt{1+x^2}\Big) ; il est facile de démontrer ce résultat en utilisant que  \cosh^2t-\sinh^2t=1, et donc, en posant  \sinh t=x on aura e^t=\sinh t+\cosh t= x+\sqrt {1+x^2}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Références[modifier | modifier le code]

  1. La norme internationale ISO 80000-2:2009 recommande sinh
  2. La norme ISO 80000-2:2009 recommande arsinh