Germe (mathématiques)

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La notion de germe en mathématiques capture les propriétés « locales » d'un phénomène, par exemple la coïncidence infinitésimale entre fonctions. C'est une notion initialement analytique qui possède en fait une structure algébrique naturelle, et qui apparaît naturellement en géométrie algébrique et en théorie des groupes de Lie.

Motivation[modifier | modifier le code]

La notion de germe permet d'approcher ce qui se passe localement sur un objet mathématique (espace topologique, variété différentielle, faisceau…). Toutes les propriétés locales d'une fonction s'étudient en analysant son germe : la continuité, dérivabilité

Anneau des germes de fonctions continues[modifier | modifier le code]

L'idée est la suivante : on veut considérer l'ensemble des fonctions continues, définies au voisinage d'un point, deux fonctions étant considérées égales dès lors qu'elles coïncident au voisinage de ce point. La définition suivante donne un sens rigoureux à cette intuition.

Soit X un espace topologique, et soit x un point de cet espace. On considère l'ensemble des couples (U, f), où U est un ouvert contenant x et f une fonction continue de U à valeurs dans un corps, par exemple le corps ℝ des nombres réels. Sur cet ensemble, on considère la relation d'équivalence (U, f) \sim (V, g) si et seulement s'il existe, dans l'intersection UV, un ouvert W contenant x tel que les fonctions f et g coïncident sur ce voisinage, c'est-à-dire f_{|W} = g_{|W}.

L'ensemble quotient A hérite d'une structure naturelle d'anneau et est appelé anneau des germes de fonctions continues en x.

Il s'agit en plus d'un anneau local. En effet, l'évaluation en x induit un morphisme f \mapsto f(x) de A dans ℝ, qui est surjectif. Son noyau est donc un idéal maximal de A, et il est unique.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

En géométrie algébrique et plus précisément en théorie des schémas, pour tout anneau A et tout idéal premier \mathfrak p de A, on peut définir le localisé A_{\mathfrak p} = S^{-1} AS = A \setminus \mathfrak p. Cet anneau s'interprète géométriquement comme un anneau de germes de fonctions.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

N. Bourbaki, Algèbre, Hermann, 1970

Articles connexes[modifier | modifier le code]