Processus de Lévy

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En théorie des probabilités, un processus de Lévy, nommé d'après le mathématicien français Paul Lévy, est un processus stochastique à temps continu, continu à droite limité à gauche (Càdlàg), partant de 0, dont les accroissements sont stationnaires et indépendants (cette notion est expliquée ci-dessous). Les exemples les plus connus sont le processus de Wiener et le processus de Poisson.

Définition[modifier | modifier le code]

Un processus stochastique X=\{X_t:t \geq 0\} est appelé processus de Lévy, si

  1. X_0=0 \, presque sûrement
  2. Accroissements indépendants : Pour tout  0 \leq t_1 < t_2<\cdots <t_n <\infty , X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},\dots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}} sont indépendants
  3. Accroissements stationnaires : Pour tout s<t \,, X_t-X_s \, est égale en loi à X_{t-s} \,
  4. t \mapsto X_t est presque sûrement continue à droite et limitée à gauche (Càdlàg).

Propriétés[modifier | modifier le code]

Accroissements indépendants[modifier | modifier le code]

Un processus stochastique à temps continu associe une variable aléatoire Xt à tout instant t ≥ 0. C'est donc une fonction aléatoire de t. Les accroissements d'un tel processus sont les différences XsXt entre ses valeurs à différents instants t < s. Dire que les accroissements d'un processus sont indépendants signifie que les accroissements XsXt et XuXv sont des variables aléatoires indépendantes à partir du moment où les intervalles de temps ne se chevauchent pas, et plus généralement, tout nombre fini d'accroissements sur des intervalles de temps non chevauchant sont mutuellement indépendants (et pas seulement indépendants deux à deux).

Accroissements stationnaires[modifier | modifier le code]

Dire que les accroissements sont stationnaires signifie que la loi de chaque accroissement XsXt ne dépend que de la longueur s − t de l'intervalle de temps.

Par exemple pour un processus de Wiener, la loi de Xs − Xt est une loi normale d'espérance 0 et de variance s − t.

Pour un processus de Poisson homogène, la loi de Xs − Xt est une loi de Poisson d'espérance λ(s − t), où λ > 0 est l'"intensité" ou le "taux" du processus.


Divisibilité[modifier | modifier le code]

Le processus de Lévy est en rapport avec les lois infiniment divisibles :

  • Les lois des accroissements d'un processus de Lévy sont infiniment divisibles, les accroissements de longueur t étant la somme de n accroissements de longueur t/n qui sont i.i.d. (indépendantes identiquement distribuées) par hypothèse.
  • Réciproquement, à chaque loi infiniment divisible correspond un processus de Lévy : une telle loi D étant donnée, on définit un processus stochastique pour tout temps rationnel positif en la multipliant et la divisant, on définit sa loi en 0 à partir de la distribution de Dirac en 0, enfin on passe à la limite pour tout temps réel positif. L'indépendance des accroissements et la stationnarité proviennent de la propriété de la divisibilité, bien qu'il faille vérifier la continuité, et le fait que le passage à la limite donne une fonction bien définie sur les temps irrationnels.

Moments[modifier | modifier le code]

Le n-ième moment \mu_n(t) = E(X_t^n) d'un processus de Lévy, lorsqu'il est fini, est une fonction polynomiale en t, qui vérifie une identité de type binomial :

\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici une liste, non exhaustive, d'exemples de processus de Lévy.
Dans les exemples ci-dessous, X est un processus de Lévy. Il est à noter qu'un drift déterministe (X_t=dt) est un processus de Lévy ; les exemples sont considérés à un drift additif près.

Processus de Wiener[modifier | modifier le code]

Définition
X est un processus de Wiener (ou mouvement brownien standard) si et seulement si

  1. pour tout \scriptstyle t\geq 0 , la variable aléatoire X_t est de loi normale \scriptstyle \mathcal N(0,t),
  2. ses trajectoires sont presque sûrement continues ; c'est-à-dire, pour presque tout \scriptstyle \omega, l'application \scriptstyle t \mapsto X_t(\omega) est continue.

Propriétés

  • Sa transformée de Fourier est donnée par :
\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( - \frac{1}{2}t\theta^2 \right)

voir la page mouvement brownien.

Processus de Poisson composé[modifier | modifier le code]

Définition
X est un Processus de Poisson composé de paramètres un réel \scriptstyle c\geq 0 et une mesure \scriptstyle \nu sur \scriptstyle \mathbb R si et seulement si sa transformée de Fourier est donnée par

\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left( ct \left(\int_{\mathbb R} e^{i\theta x}\nu(dx) -1\right)\right) .

Propriétés

  • Un processus de Poisson composé de paramètres \scriptstyle c\geq 0 et pour mesure la mesure de Dirac en 1 (\scriptstyle \nu=\delta_1) est un processus de Poisson.
  • Soient N un processus de Poisson de paramètre \scriptstyle c\geq 0 et \scriptstyle S_n=\sum_{k=0}^n Y_k une marche aléatoire dont la loi des pas est \scriptstyle \nu (la loi de \scriptstyle Y_1), alors le processus défini par \scriptstyle X_t=S_{N_t} est un processus de Poisson composé.

Subordinateurs[modifier | modifier le code]

Définition
X est un subordinateur si et seulement si X est un processus croissant.

Propriétés

\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left(-idt\theta + t \int_0^\infty (1- e^{i\theta x})\nu(dx)\right) .
  • Un subordinateur permet de faire un changement de temps, cela s'appelle une subordination. Si Z est un processus de Lévy et X est un subordinateur indépendant, alors le processus (Z_{X_t})_{t\geq 0} est un processus de Lévy.

Processus de Lévy stables[modifier | modifier le code]

Définition
X est un processus de Lévy stable de paramètre \scriptstyle \alpha \in ]0,2] (ou un processus de Lévy \scriptstyle \alpha-stable ) si et seulement si les deux processus \scriptstyle (X_{c^\alpha t})_{t\geq 0} et \scriptstyle (cX_t)_{t\geq 0} ont la même loi pour tout réel \scriptstyle c>0.

Cette propriété s'appelle la propriété de stabilité (ou scalling).

Propriétés

  • Si \scriptstyle \alpha=1, le processus de Lévy est un drift déterministe ou un processus de Cauchy.
  • Si \scriptstyle \alpha=2, le processus de Lévy est un mouvement brownien.
  • Pour \scriptstyle \alpha\in ]0,1[\cup]1,2[, sa transformée de Fourier est de la forme :
\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \left(c |\theta|^\alpha\left( 1-ik \, \sgn(\theta)\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right) \right)\right) .

Représentation de Lévy–Khintchine[modifier | modifier le code]

Toute variable aléatoire peut être caractérisée par sa fonction caractéristique. Dans le cas d'un processus de Lévy  X_t , cette caractérisation pour tout temps t donne la représentation de Lévy-Khintchine (du nom du mathématicien russe Alexandre Khintchine) :

\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \Bigg( ait\theta - \frac{1}{2}\sigma^2t\theta^2 + t 
\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \big( e^{i\theta x}-1 -i\theta x \mathbf{I}_{|x|<1}\big)\,W(dx) \Bigg)

a \in \mathbb{R}, \sigma\ge 0 et \mathbf{I} est la fonction indicatrice. La mesure de Lévy W doit vérifier

\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \min \{ x^2 , 1 \} W(dx) < \infty.

Un processus de Lévy est donc caractérisé par trois composantes : une dérive (un drift), un coefficient de diffusion, et une composante de saut. Ces trois composantes, et donc la représentation de Lévy–Khintchine du processus, sont entièrement déterminées par le triplet (a,\sigma^2, W). En particulier, un processus de Lévy continu est un mouvement brownien avec dérive.

Décomposition de Lévy–Itō[modifier | modifier le code]

Réciproquement, on peut construire un processus de Lévy à partir d'une fonction caractéristique donnée sous sa représentation de Lévy-Khintchine. Cette construction correspond à la décomposition d'une mesure d'après le théorème de décomposition de Lebesgue : la dérive et la diffusion constituent la partie absolument continue, tandis que la mesure W en est la partie singulière.

Étant donné un triplet de Lévy (a,\sigma^2, W) il existe trois processus de Lévy indépendants X^{(1)} X^{(2)}, X^{(3)} sur le même espace probabilisé, tels que :

  • X^{(1)} est un mouvement brownien avec dérive, correspondant à la partie absolument continue de la mesure, dont les coefficients sont a pour la dérive et \sigma^2 pour la diffusion ;
  • X^{(2)} est le processus de Poisson composé, correspondant à la pure partie ponctuelle de la mesure singulière W ;
  • X^{(3)} est un processus de saut, martingale de carré intégrable qui a presque surement un nombre dénombrable de sauts sur tout intervalle fini, correspondant à la partie continue de la mesure singulière W.

Le processus défini par X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)} est un processus de Lévy de triplet (a,\sigma^2, W).

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, Second Edition, Cambridge University Press, 2009
  • J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. ISBN 0-52164-632-4
  • A.E. Kyprianou, Introductory Lectures on Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Springer, Berlin, 2006.
  • K.I. Sato, Lévy Processes and Infinitely divisible distributions, Cambridge Univsersity Press, 1999. ISBN 0-521-55302-4

Notes et références[modifier | modifier le code]