Intégrale paramétrique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale paramétrique (également appelée intégrale à paramètre) est une fonction d'une variable, définie à partir d'une fonction de deux variables – la variable d'intégration et le paramètre – par intégration sur un ensemble fixe par rapport à la variable d'intégration. Les deux variables, ainsi que les valeurs de la fonction, sont souvent choisies dans un espace euclidien. Une classe importante d'exemples est l'ensemble des transformées, dont par exemple la transformée de Fourier.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soient T un ensemble, \scriptstyle(\Omega,\mathcal A,\mu) un espace mesuré et

f:T\times\Omega\to\R^n

une application telle que pour tout élément t de T, l'application

\Omega\to\R^n,~\omega\mapsto f(t,\omega) soit intégrable.

Alors l'application F définie par :

F:T\to\R^n,\quad F(t)=\int f(t,\omega)~\mathrm d\mu(\omega)

est appelée une intégrale paramétrique.

Le plus souvent, dans les applications :

Exemples[modifier | modifier le code]

Transformée de Fourier[modifier | modifier le code]

Soit g une fonction intégrable de ℝn dans ℂ, la transformée de Fourier de g est la fonction de ℝn dans ℂ définie par :

\widehat g(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{\R^n}\exp[-2i\pi(t|\omega)]g(\omega)\,\mathrm d\omega,

\scriptstyle(\cdot|\cdot) désigne le produit scalaire usuel.

Fonction gamma d'Euler[modifier | modifier le code]

La fonction gamma d'Euler est définie entre autres pour tout réel x strictement positif, par :

\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}\exp(-t)~\mathrm dt.

Potentiel du champ de gravitation[modifier | modifier le code]

Le potentiel du champ de gravitation V(x) créé par un corps matériel M de densité variable \rho en un point x de ℝ3 extérieur à M est donné par :

V(x)=-G\int_M{\rho(y)\over\|x-y\|_2}~\mathrm dy,

G désigne la constante de gravitation et \scriptstyle\|\cdot\|_2 la norme euclidienne.

Limite[modifier | modifier le code]

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est une partie de ℝ, que x est un réel adhérent à T, et que :

  • \forall\omega\in\Omega,~\lim_{t\to x}f(t,\omega)=\varphi(\omega) ;
  • il existe une application intégrable \scriptstyle g:\Omega\to\R telle que
\forall t\in T,\forall\omega\in\Omega,\quad\|f(t,\omega)\|\le g(\omega).

Alors, le théorème de convergence dominée permet de prouver que φ est intégrable et que

\lim_{t\to x}F(t)=\int\varphi(\omega)~\mathrm d\mu(\omega),

soit encore :

\lim_{t\to x}\left(\int_\Omega f(t,\omega)~\mathrm d\mu(\omega)\right)=\int\left(\lim_{t\to x}f(t,\omega)\right)~\mathrm d\mu(\omega).
Remarques.
  • La première hypothèse peut être affaiblie en supposant que la limite existe seulement pour presque tout \scriptstyle\omega\in\Omega, sous réserve que l'espace mesuré \scriptstyle(\Omega,\mathcal A,\mu) soit complet (ce qui est le cas pour les tribu et mesure de Lebesgue).
  • La seconde hypothèse peut être doublement affaiblie en supposant seulement qu'il existe une fonction intégrable g telle que pour chaque élément t de T appartenant à un certain voisinage de x on ait : \scriptstyle\|f(t,\cdot)\|\le g presque partout.
  • Les énoncés des sections suivantes possèdent des variantes analogues.
  • L'énoncé ci-dessus, même ainsi affaibli, reste vrai quand T est une partie d'un espace métrique autre que ℝ.

continuité[modifier | modifier le code]

Continuité locale : si l'on reprend la section précédente en supposant de plus que x appartient à T (donc pour tout \scriptstyle\omega\in\Omega, \scriptstyle f(\cdot,\omega) est continue au point x et \varphi(\omega)=f(x,\omega)), on en déduit que F est continue en x.

Continuité globale : par conséquent, si f est continue sur \scriptstyle T\times\Omega avec T partie ouverte (ou plus généralement : localement compacte) de ℝ et \Omega fermé borné d'un espace euclidien, alors F est définie et continue sur T.

Dérivabilité[modifier | modifier le code]

La règle de dérivation sous le signe d'intégration est connue sous le nom de règle de Leibniz (pour d'autres règles portant ce nom, voir Règle de Leibniz Page d'aide sur l'homonymie).

Étude locale[modifier | modifier le code]

Reprenons la définition formelle ci-dessus en supposant de plus que T est un intervalle de ℝ et que :

  • pour tout \scriptstyle\omega\in\Omega, \scriptstyle f(\cdot,\omega) est dérivable sur T ;
  • il existe une application intégrable \scriptstyle g:\Omega\to\R telle que
\forall t\in T,\quad\left\|{\partial f\over\partial t}(t,\cdot)\right\|\le g.

Alors, pour tout \scriptstyle x\in T l'intégrale paramétrique F est dérivable au point x, l'application \scriptstyle{\partial f\over\partial t}(x,\cdot) est intégrable, et :

F'(x)=\int{\partial f\over\partial t}(x,\omega)~\mathrm d\mu(\omega).

Étude globale[modifier | modifier le code]

Avec les mêmes hypothèses que dans l'énoncé « Continuité globale » (f est continue sur \scriptstyle T\times\Omega avec T partie localement compacte de ℝ et \Omega fermé borné d'un espace euclidien), si l'on suppose de plus que \scriptstyle{\partial f\over\partial t} est définie et continue sur \scriptstyle T\times\Omega, alors F est de classe C1 sur T et pour tout \scriptstyle x\in T, on a :

F'(x)=\int{\partial f\over\partial t}(x,\omega)~\mathrm d\mu(\omega).

Forme générale unidimensionnelle[modifier | modifier le code]

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation du théorème fondamental de l'analyse et peut s'avérer utile dans le calcul de certaines intégrales réelles.

Soit \scriptstyle f:\R^2\to\R^n telle que f et \scriptstyle{\partial f\over\partial x} soient continues sur ℝ2, et soient a et b deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Si F est l'« intégrale paramétrique » (généralisée) définie sur ℝ par :

F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,y)~\mathrm dy,

alors F est dérivable et

F'(x)=f(x, b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}{\partial f\over \partial x}(x,y)~\mathrm dy.

Remarque : pour une fonction f qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a(x)=a et b(x)=x.

Théorème de Fubini[modifier | modifier le code]

Soient par exemple X une partie de ℝp, Y une partie de ℝq, et

f:X\times Y\to\R^n

une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction \scriptstyle f(x,\cdot) est intégrable pour presque tout x de X, l'intégrale paramétrique F définie par

F(x)=\int_Yf(x,y)~\mathrm dy

est intégrable sur X, et on a :

\int_{X\times Y}f=\int_XF

(et même chose en intervertissant les rôles de x et y).

Exemples de calcul[modifier | modifier le code]

Calculs élémentaires[modifier | modifier le code]

  • On peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que pour tous réels a et b strictement positifs :
\int_0^{+\infty}{\exp(-ax)-\exp(-bx)\over x}\mathrm dx=\ln{b\over a}.
  • Soient X=[0,2], Y=[1,3] et f définie sur \scriptstyle X\times Y par  f(x,y)=x^2+y. Elle est intégrable sur \scriptstyle X\times Y puisqu'elle est continue. Par le théorème de Fubini, son intégrale se calcule donc de deux façons :
\int_{X\times Y}f=\int_0^2\left(\int_1^3(x^2+y)~\mathrm dy\right)~\mathrm dx=\int_0^2(2x^2+4)~\mathrm dx={40\over 3}
et
\int_{X\times Y}f=\int_1^3\left(\int_0^2(x^2+y)~\mathrm dx\right)~\mathrm dy=\int_1^3\left({8\over 3}+2y\right)~\mathrm dy={40\over 3} .

Intégrale de Gauss[modifier | modifier le code]

L'intégrale de Gauss joue un rôle important en analyse et en calcul des probabilités, elle est définie par :

\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-x^2}~\mathrm dx=\sqrt\pi.

Cette égalité peut s'obtenir de plusieurs façons, dont une utilisant la notion d'intégrale paramétrique.

Références[modifier | modifier le code]