Stabilité EBSB

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La stabilité EBSB est une forme particulière de stabilité des systèmes dynamiques étudiés en automatique, en traitement du signal et plus spécifiquement en électrotechnique. EBSB signifie Entrée Bornée/Sortie Bornée : si un système est stable EBSB, alors pour toute entrée bornée, la sortie du système l’est également.

Condition dans le domaine temporel[modifier | modifier le code]

Un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction transfert est rationnelle et strictement propre[1] est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable, i.e. si sa norme L^1 existe :

L^1 = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right|dt} = \| h \|_1 < \infty.


En temps discret, un système est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, i.e. si sa norme \ell^1 existe :

\ell^1 =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_1 < \infty.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Elle est proposée en temps discret, mais les mêmes arguments s’appliquent en temps continu.

Condition nécessaire[modifier | modifier le code]

À l’entrée bornée x(n)=\operatorname{signe}(h(-n)) correspond la sortie y(n)\ satisfaisant

y(n) = h(n) * x(n)\

* est le produit de convolution, c'est-à-dire :

y(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h(k) x(n-k)}.

En particulier y(0) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h(k)x(-k)}=\sum_{k=-\infty}^{\infty} {|h(k)|}.

Ainsi \| h \|_1 < \infty puisque y(0)\ est borné.

Condition suffisante[modifier | modifier le code]

Considérons une entrée bornée, c'est-à-dire \| x \|_{\infty} < \infty, et supposons \| h \|_1 < \infty. Alors la sortie y(n)\ satisfait

\left|y(n)\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h(n-k) x(k)}\right| \le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right| \left|x(k)\right|} (par l'inégalité triangulaire)
\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right| \| x \|_{\infty}}= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h(n-k)\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1.

Ainsi \left|y(n)\right| est également borné.

Condition dans le domaine fréquentiel[modifier | modifier le code]

Signal continu[modifier | modifier le code]

Soit un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction de transfert H(p)\ est supposée être rationnelle. En notant p_i\ les pôles (racines complexes du dénominateur) et \sigma\ l’abscisse de convergence définie par \sigma = \max \operatorname{Re}(p_i)\ , on montre que le système est stable EBSB si et seulement si \sigma < 0\ .

Preuve[modifier | modifier le code]

Puisque H(p)\ est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle h(t)\ ,

H(p)=\int_0^\infty e^{-pt} h(t) dt

et le domaine de convergence est le demi-plan \operatorname{Re}(p) > \sigma\ .


Si le système est stable EBSB, alors h(t)\ est dans L^1 et il y a convergence en p = 0\ puisque

|H(0)|=\left|\int_0^\infty h(t)dt\right| \le \int_0^\infty |h(t)|dt

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent \sigma < 0\ .


Supposons \sigma < 0\ . Puisque, par l’hypothèse de rationalité, H(p)\ est de la forme

H(p) = \sum_i \frac{c_i}{p - p_i},

en supposant, pour simplifier, que les pôles de H(p)\ sont simples. La transformée inverse de Laplace donne

h(t) = \sum_i c_i e^{p_i t}

qui est dans L^1 et le système est stable EBSB.

Signal discret[modifier | modifier le code]

Soit un système linéaire invariant et à temps discret dont la fonction de transfert H(z)\ est supposée être rationnelle. En notant z_i\ les pôles et \rho\ le module de convergence défini comme le maximum des modules des pôles, on montre que le système est stable EBSB si et seulement si \rho < 1\ .

Preuve[modifier | modifier le code]

Puisque H(z)\ est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle h(n)\ ,

H(z)=\sum_{k=0}^\infty h(k)z^{-k}

et le domaine de convergence est l’extérieur d’un cercle, soit |z| > \rho\ .


Si le système est stable EBSB, alors h(n)\ est dans \ell^1 et il y a convergence en z = 1\ puisque

|H(1)|=\left|\sum_{k=0}^\infty h(k)\right| \le \sum_{k=0}^\infty |h(k)|

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent \rho< 1\ .


Supposons \rho< 1\ . Puisque, par l’hypothèse de rationalité, H(z)\ est de la forme

H(z) = \sum_i \frac{d_i}{1 - z_i z^{-1}},

en supposant, pour simplifier, que les pôles de H(z)\ sont simples. L’inverse de la transformée en z donne

h(n) = \sum_i d_i z_i^n

qui est dans \ell^1 et le système est stable EBSB.

Critères de Stabilité[modifier | modifier le code]

Pour déterminer si un système physique représenté par un schéma-bloc est stable ou non, on peut utiliser plusieurs méthodes ou plusieurs critères. Il existe 2 types de critères :

Ces critères permettent uniquement de déterminer si le système est stable ou non, mais ils n'indiquent pas le degré de stabilité, c'est-à-dire si le système est plus ou moins stable. Pour apprécier ce fameux degré de stabilité, on est amené à utiliser d'autres outils tels que les marges de phase et les marges de gain ou le facteur de résonance par exemple.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En termes de représentation d'état, cela signifie que l'on se restreint aux systèmes de dimension finie sans terme direct. Par exemple, un système constitué d'un gain pur (resp. d'un dérivateur pur) a pour réponse impulsionnelle la distribution de Dirac (resp. sa dérivée) qui n'est pas une fonction.

Voir aussi[modifier | modifier le code]