Cosinus hyperbolique

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Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de ℝ

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Définition[modifier | modifier le code]

La fonction cosinus hyperbolique, notée ch ou cosh, est la fonction complexe suivante :

\begin{matrix}\cosh:&\C&\to&\C\\&z&\mapsto&\frac{e^z+e^{-z}}2\end{matrix}

\scriptstyle z\mapsto e^z est l'exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est donc la partie paire de l'exponentielle complexe. Elle se restreint en une fonction réelle d'une variable réelle.

La fonction cosinus hyperbolique restreinte à ℝ est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au XVIIIe siècle.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Propriétés trigonométriques[modifier | modifier le code]

Des définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes, valables pour tout complexe z et analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire :

e^z=\cosh(z)+\sinh(z)\quad\text{et}\quad e^{-z}=\cosh(z)-\sinh(z),\quad\text{donc}\quad\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1.

Quand t décrit ℝ, de même que le point de coordonnées (cos(t), sin(t)) parcourt un cercle d'équation  x^2 + y^2 = 1, celui de coordonnées (cosh(t), sinh(t)) parcourt donc une branche d'une hyperbole équilatère d'équation  x^2- y^2 = 1 .

D'autre part, pour tous nombres complexes x et y :

\cosh(i x) = \frac{e^{i x} + e^{-i x}}2= \cos(x)
\cosh(x) = \cos(i x) \,
\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,
\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}

L'utilisation de formules trigonométriques telles que sin(2t) = (2 tan t)/(1+tan2 t) permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel x) :

\cosh(x)=\frac1{\sin(2\times\arctan(e^x))} ;

voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor[modifier | modifier le code]

La série de Taylor de la fonction \cosh converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}

Polynômes de Tchebychev[modifier | modifier le code]

Soit T_n le n-éme polynôme de Tchebychev ; en prolongeant aux complexes la relation (vraie pour tout t réel) T_n(\cos(t))=\cos(nt), on obtient pour tout t réel la relation

T_n(\cosh(t))=\cosh(nt).

Valeurs[modifier | modifier le code]

Quelques valeurs de cosh :

  • \cosh(0) = 1 \,
  • \cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}
  • \cosh(i) = \cos(1) \,

Zéros[modifier | modifier le code]

Tous les zéros de \cosh sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe z,

\cosh(z)=0 \Leftrightarrow z \in i\pi\left(\Z+\frac12\right).

En effet, soit z=x+i y avec x,y réels. On a alors \cosh (z)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y), donc

\cosh(z)=0 \Leftrightarrow \cos(y)=0 \mbox{ et } \sinh(x)=0 \Leftrightarrow y \in \{\pi / 2 +k \pi~|~k \in\Z\} \mbox{ et } x=0.

Fonction réciproque[modifier | modifier le code]

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur [1, +∞[

Sur [0, +∞[, cosh est continue et strictement croissante ; sa valeur en 0 est 1 et sa limite en +∞ est +∞. C'est donc une bijection de [0, +∞[ dans [1, +∞[. Sa bijection réciproque, notée argcosh (ou argch), est nommée argument cosinus hyperbolique.

Sur ℂ, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure la demi-droite ]–∞, 1].

\operatorname{argcosh}(z)=\ln(z+\sqrt{z+1}\sqrt {z-1}).

Pour x∈ [1, +∞[, il existe deux réels dont le cosh vaut x : \operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\quad\text{et}\quad-\operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x-\sqrt{x^2-1}\right). En effet, en posant t = argcosh(x) et en utilisant que cosh2t – sinh2t = 1 et t > 0, on obtient e^t=\cosh t+\sinh t= x+\sqrt {x^2-1}\quad\text{et}\quad e^{-t}=\cosh t-\sinh t= x-\sqrt {x^2-1}.

La fonction argch est dérivable sur ]1, +∞[ et \forall x\in]1,+\infty[\quad\operatorname{argch}'(x)=\dfrac1{\sqrt{x^2-1}}.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Physique[modifier | modifier le code]

La courbe représentative de la fonction cosh sur ℝ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

L'arche du Gateway

Architecture[modifier | modifier le code]

Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.

L'arche du Gateway à Saint-Louis (Missouri) possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

y=-39 \cosh \left( \frac x{39} \right)+231

pour -96 < x < 96.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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