Intégration par parties

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En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où u et v sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :

\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx

ou encore, en remarquant que u' (x) dx et v' (x) dx sont respectivement les différentielles de u et de v :

\int_a^b u\,\mathrm dv= [uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du.

Énoncé du théorème (dit d'intégration par parties)[modifier | modifier le code]

En notant w=v' et W=v, l'énoncé ci-dessus correspond au suivant.

Soit I=[a, b] un segment de ℝ, w une fonction continue définie sur I et u une fonction de classe C1 définie sur I. Soit W une primitive de w sur I. Alors :

\int_a^bu(x)w(x)~\mathrm dx=\left[u(x) W(x)\right]_a^b-\int_a^bu'(x)W(x)~\mathrm dx.

On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).

Démonstration[modifier | modifier le code]

La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :

(u\cdot W)' = u'\cdot W + u\cdot w.

On a donc

u\cdot w=(u\cdot W)' - u'\cdot W

puis :

\int_a^bu(x)w(x)~\mathrm dx=\int_a^b(u\cdot W)'(x)~\mathrm dx-\int_a^b u'(x)W(x)~\mathrm dx,

ce qui donne bien la propriété énoncée ci-dessus.

Par récurrence, on peut généraliser cette méthode aux fonctions de classe Cn+1 :

\int_a^b f(x) g^{(n+1)}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x) \right]_a^b + (-1)^{n+1} \int_a^b f^{(n+1)}(x) g(x) \,\mathrm dx.

Choix des variables[modifier | modifier le code]

Le choix des fonctions u et v' est arbitraire, il requiert de la pratique et de l'intuition. Cependant, après l'exemple ci-dessous, quelques règles peuvent être posées pour gagner du temps.

I=\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx

Si l'on choisit u = ln et v' (x) = x, on peut prendre u' (x) = 1/x et v(x) = x2/2, d'où :

 I=\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^2 - \frac12 \int_1^2x\,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^2 - \frac12\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2.

En revanche, si l'on choisit u(x) = x et v' = ln, on a u' = 1 et v(x) = xln(x) – x, d'où :

I= \int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[x(x\ln(x) - x)\right]_1^2 - \int_1^2(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale (elle s'y ramène cependant puisque \scriptstyle\int_1^2(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx = I-3/2).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Effectuons le calcul de
    \int_0^{\frac\pi3} x\cos (x) \,\mathrm dx
    grâce à une intégration par parties.
    Pour cela, posons u(x)=x, de telle sorte que u' =1, et v' =cos, de telle sorte que v=sin, par exemple (i.e. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :
    \begin{align}\int_0^{\frac\pi3}x\cos(x)\,\mathrm dx
&= \left[u(x)v(x)\right]_0^{\frac{\pi}3} - \int_0^{\frac{\pi}3}u'(x)v(x)\,\mathrm dx\\
&=\left[x\sin(x)\right]_0^{\frac\pi3} - \int_0^{\frac\pi3}\sin(x)\,\mathrm dx\\
&=\frac{\pi\sqrt3}6 + \left[\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}3}\\
&=\frac{\pi\sqrt3}6 - \frac12\ .\end{align}
  • Effectuons le calcul de
    \int_a^b xe^x~\mathrm dx.
    Pour l'intégration par parties, posons u(x)=x et dv=ex dx. Nous avons donc du = dx et (par exemple) v = ex.
    Utilisons la formule d'intégration par parties :
    \int_a^b xe^x \,\mathrm dx=\left[xe^x\right]_a^b-\int_a^b e^x\,\mathrm dx= \left[xe^x-e^x\right]_a^b.
    On en déduit qu'une primitive (sur ℝ) de la fonction xx ex est la fonction x ↦ (x – 1) ex.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Formule sommatoire d'Abel

Lien externe[modifier | modifier le code]

Nombreux exemples d'intégration par parties bien détaillés