Intégration par parties

En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et $a$ et $b$ deux réels de leur intervalle de définition :

$\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx$

ou encore, en remarquant que $u' (x) d x$ et $v' (x) d x$ sont respectivement les différentielles de $u$ et de $v$ :

$\int_a^b u\,\mathrm dv= [uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du.$

Sommaire

1 Énoncé du théorème (dit d'intégration par parties)
2 Démonstration
3 Choix des variables
4 Exemples
5 Lien externe

Énoncé du théorème (dit d'intégration par parties) [modifier]

En notant $w = v'$ et $W = v$ , l'énoncé ci-dessus correspond au suivant.

Soit $I =[a, b]$ un segment de ℝ, $w$ une fonction continue définie sur $I$ et $u$ une fonction de classe C¹ définie sur $I$ . Soit $W$ une primitive de $w$ sur $I$ . Alors :

$\int_a^bu(x)w(x)~\mathrm dx=\left[u(x) W(x)\right]_a^b-\int_a^bu'(x)W(x)~\mathrm dx.$

On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C¹ par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).

Démonstration [modifier]

La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :

$(u\cdot W)' = u'\cdot W + u\cdot w.$

On a donc

$u\cdot w=(u\cdot W)' - u'\cdot W$

puis :

$\int_a^bu(x)w(x)~\mathrm dx=\int_a^b(u\cdot W)'(x)~\mathrm dx-\int_a^b u'(x)W(x)~\mathrm dx,$

ce qui donne bien la propriété énoncée ci-dessus.

Variante de « démonstration » avec la notation de Leibniz

Soit deux fonctions dérivables $u$ et $v$ . La règle de la dérivation d'un produit nous donne :

$\frac {\mathrm d(uv)}{\mathrm dx}= u\frac {\mathrm dv}{\mathrm dx}+v\frac {\mathrm du}{\mathrm dx}.$

En « multipliant par $d x$ » on obtient :

$\mathrm d(uv)= u\mathrm dv+v\mathrm du.$

On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :

$u\mathrm dv= \mathrm d(uv)-v\mathrm du.$

Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :

$\int_a^b u\,\mathrm dv= \int_a^b \mathrm d(uv)-\int_a^b v\,\mathrm du.$

On obtient alors :

$\int_a^b u\,\mathrm dv= [uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du.$

Par récurrence, on peut généraliser cette méthode aux fonctions de classe C^{$n$ +1} :

$\int_a^b f(x) g^{(n+1)}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x) \right]_a^b + (-1)^{n+1} \int_a^b f^{(n+1)}(x) g(x) \,\mathrm dx.$

Choix des variables [modifier]

Le choix des fonctions $u$ et $v'$ est arbitraire, il requiert de la pratique et de l'intuition. Cependant, après l'exemple ci-dessous, quelques règles peuvent être posées pour gagner du temps.

$I=\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx$

Si on choisit $u =ln$ et $v' (x)= x$ , on a $u' (x)=1/ x$ et $v (x)= x 2 /2$ , d'où :

$I=\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^2 - \frac12 \int_1^2x\,\mathrm dx.$

En revanche, si on choisit $u (x)= x$ et $v' =ln$ , on a $u' =1$ et $v (x)=ln(x)- x$ , d'où :

$I= \int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[x(x\ln(x) - x)\right]_1^2 - \int_1^2(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx$

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale (elle s'y ramène cependant puisque $\scriptstyle\int_1^2(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx = I-3/2$ ).

Exemples [modifier]

Effectuons le calcul de $\int_0^{\frac\pi3} x\cos (x) \,\mathrm dx$ grâce à une intégration par parties.
Pour cela, posons $u (x)= x$ , de telle sorte que $u' =1$ , et $v' =cos$ , de telle sorte que $v =sin$ , par exemple (i.e. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient : $\begin{align}\int_0^{\frac\pi3}x\cos(x)\,\mathrm dx &= \left[u(x)v(x)\right]_0^{\frac{\pi}3} - \int_0^{\frac{\pi}3}u'(x)v(x)\,\mathrm dx\\ &=\left[x\sin(x)\right]_0^{\frac\pi3} - \int_0^{\frac\pi3}\sin(x)\,\mathrm dx\\ &=\frac{\pi\sqrt3}6 + \left[\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}3}\\ &=\frac{\pi\sqrt3}6 - \frac12\ .\end{align}$
Effectuons le calcul de $\int_a^b xe^x~\mathrm dx.$ Pour l'intégration par parties, posons $u (x)= x$ et $d v =e x d x$ . Nous avons donc $d u = d x$ et (par exemple) $v = e x$ .
Utilisons la formule d'intégration par parties : $\int_a^b xe^x \,\mathrm dx=\left[xe^x\right]_a^b-\int_a^b e^x\,\mathrm dx= \left[xe^x-e^x\right]_a^b.$ On en déduit qu'une primitive (sur ℝ) de la fonction $x \mapsto x e x$ est la fonction $x \mapsto (x - 1) e x$ .