Intégrale impropre

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, l'intégrale impropre désigne une extension de l'intégrale usuelle, définie par une forme de passage à la limite dans des intégrales. On note en général les intégrales impropres sans les distinguer des véritables intégrales ou intégrales définies, ainsi : \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{d}t est un exemple très classique d'intégrale impropre convergente, mais qui n'est pas définie au sens des théories de l'intégration usuelles (que ce soit l'intégration des fonctions continues par morceaux, l'intégrale de Riemann, ou celle de Lebesgue ; une exception notable est la théorie de l'intégration de Kurzweil-Henstock).

Dans la pratique, on est amené à faire une étude de convergence d'intégrale impropre

  • lorsqu'on intègre jusqu'à une borne infinie,
  • lorsqu'on intègre jusqu'à une borne en laquelle la fonction n'admet pas de limite finie,
  • lorsqu'on englobe un point de non définition dans l'intervalle d'intégration.

Dans chaque cas, on évaluera l'intégrale définie comme une fonction d'une des deux bornes et on prendra la limite de la fonction obtenue lorsque l'argument tend vers la valeur de la borne.

L'intégrale impropre partage un certain nombre de propriétés élémentaires avec l'intégrale définie. Elle ne permet pas d'écrire des résultats d'interversion limite-intégrale avec les théorèmes d'interversion de convergence uniforme. Par contre, il existe un théorème d'interversion limite-intégrale adapté aux intégrales impropres : c'est le théorème de convergence dominée.

Définition[modifier | modifier le code]

Définition de la convergence d'une intégrale impropre[modifier | modifier le code]

Soit f : [a, b[ \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue. Si la limite

\lim_{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur [a, b[.

De la même manière, soit f : ]a, b] \rightarrow  \mathbb{R} une fonction continue. Si la limite

\lim_{x \rightarrow a^{+}} \int_x^b f(t)\mathrm{d}t

existe et est finie, on appelle cette limite intégrale impropre de f sur ]a, b].

Dans les deux cas on peut noter cette limite

\int_a^b f(t) \mathrm{d}t, et on précise (quand c'est nécessaire) si l'intégrale est impropre pour la borne a ou pour la borne b.

Si la limite existe et est finie on dit que \int_a^b f(t) dt converge, sinon on dit qu'elle diverge.

Remarques :

  • On peut généraliser facilement la définition à des fonctions qui sont continues seulement sur ]a,b[. On dit alors que
\int_a^b f(t) \mathrm{d}t
converge lorsque pour un c \in ]a,b[ arbitraire, les intégrales
\int_a^c f(t) \mathrm{d}t et \int_c^b f(t) \mathrm{d}t
convergent.
  • Il existe une autre notation qui permet d'expliciter le caractère impropre de l'intégrale.
\lim_{x \rightarrow b^{-}} \int_a^x f(t)\mathrm{d}t
peut s'écrire
 \int_{a}^{\to b} f(t)\mathrm{d}t
  • Si f est en fait continue sur le segment [a,b], on obtient par ces définitions la même valeur que si on calculait l'intégrale définie de f.

Définition de l'intégrabilité d'une fonction[modifier | modifier le code]

Soit I=(a,b) un intervalle réel et f :I  \rightarrow \mathbb{R} une fonction continue par morceaux sur I (ou bien, plus généralement, intégrable sur tout compact de I). On dit que f est intégrable sur I si

\int_a^b |f(t)|\mathrm{d}t

converge. On dit que l'intégrale de f sur I converge absolument.

Si l'intégrale de f converge absolument sur I, alors l'intégrale de f sur I converge. La réciproque est fausse. Une fonction dont l'intégrale converge tout en n'étant pas absolument convergente est appelée intégrale semi-convergente.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Intégration par parties[modifier | modifier le code]

L'intégration par parties est une technique, parmi tant d'autres, permettant de calculer une intégrale définie. Pour les intégrales impropres, cette technique peut être également utilisée. Mais il faut faire attention à la définition des "objets obtenus". Si

\int_{a}^{b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx

existe, ce n'est pas forcément le cas pour

 \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} ou pour  \int_{a}^{b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx

Donc si on cherche à calculer par exemple l'intégrale

\int_{a}^{\to b} f(x) g'(x)\,\mathrm dx

on peut écrire :

\int_{a}^{X} f(x) g'(x)\,\mathrm dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{X} - \int_{a}^{X} f'(x) g(x) \,\mathrm dx

avec  a<X<b puis on effectue un passage à la limite en faisant X \to b. On observe alors que si les termes

 \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{\to b} et  \int_{a}^{\to b} f'(x) g(x) \,\mathrm dx

sont définis, l'intégration par parties est possible.

Linéarité des intégrales impropres[modifier | modifier le code]

La linéarité des intégrales impropres est possible mais requiert la même condition que pour l'intégration par parties : les "objets obtenus" doivent être définis. Ainsi on peut écrire

 \int_{1}^{\infty} \left(\frac{1}{x^2}-\exp(-x)\right)\mathrm{d}x = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x - \int_{1}^{\infty} \exp(-x)\mathrm{d}x

car les intégrales

 \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x et  \int_{1}^{\infty} \exp(-x)\mathrm{d}x

sont convergentes.

Mais par contre, l'intégrale

 \int_{1}^{\infty} \left(\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x

ne peut être scindée car les intégrales

 \int_{1}^{\infty} \arcsin\left(\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x et  \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\mathrm{d}x

sont divergentes.

Techniques pour établir la convergence d'une intégrale impropre[modifier | modifier le code]

Par passage à la limite[modifier | modifier le code]

Pour calculer une intégrale du type

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm dx

on choisit X tel que a<X<b. On calcule ensuite l'intégrale \int_{a}^{X} f(x)\,\mathrm dx comme une intégrale classique. Enfin on effectue un passage à la limite pour faire tendre X vers b, ce qui nous amène au résultat.

Par exemple, calculons

\int_{0}^{\infty} \exp(-x)\,\mathrm dx

Pour 0<X<\infty on a

\int_{0}^{X} \exp(-x)\,\mathrm dx = \left[ -\exp(-x) \right]_{0}^{X} = 1 - \exp(-X)

Par passage à la limite, on obtient

\int_{0}^{\infty} \exp(-x)\,\mathrm dx = 1

Majoration[modifier | modifier le code]

Soit I un intervalle réel. On cherche à montrer que

\int_I f(x)\,\mathrm dx

est convergente. Si on arrive à trouver une fonction g telle que pour tout x \in I, |f(x)|\leq g(x) et telle que

\int_I g(x)\,\mathrm dx

soit convergente, alors

\int_I f(x)\,\mathrm dx

est convergente.

Par exemple, prenons l'intégrale de Gauss

\int_{0}^{\infty} \exp(-x^2)\,\mathrm dx

Pour tout x \geq 1,  |\exp(-x^2)| \leq \exp(-x) et

\int_{0}^{\infty} \exp(-x)\,\mathrm dx

est convergente, donc

\int_{0}^{\infty} \exp(-x^2)\,\mathrm dx

est convergente.

Équivalence[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Équivalent et Développement limité.

On considère les intégrales impropres pour la seule borne b (où b désigne un élément de la droite réelle achevée supposé différent du réel a)

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm dx et \int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm dx

Si f et g sont équivalentes au voisinage de b et de signe constant, alors les deux intégrales ci-dessus sont de même nature.

Par exemple, prenons

 \int_{1}^{\infty} \left(\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x

Pour trouver un équivalent de  \arcsin(1/x)-1/x en  +\infty , il faut effectuer un développement limité en 0 pour la variable  1/x (ce qui équivaut à un développement limité en  +\infty pour la variable x). On a

 \arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x} = \frac{1}{x}+\frac{1}{6x^3}-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^3}\right) = \frac{1}{6x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right)

donc

\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\quad \underset{+\infty}{\sim}\quad \frac{1}{6x^3}

et tout est positif (de signe constant). Par un calcul de primitive, on obtient que

\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{6x^3}\,\mathrm dx

est convergente. Donc

 \int_{1}^{\infty} \left(\arcsin\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\right)\mathrm{d}x

est convergente.

Négligeabilité[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Notation de Landau.

Avec des notations analogues à celles du paragraphe précédent, on considère les intégrales impropres en b suivantes

\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm dx et \int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm dx

Si f(x)=o(g(x)) au voisinage de b et si

\int_{a}^{b} g(x)\,\mathrm dx

est convergente, alors \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm dx est convergente.

Par exemple, prenons

\int_{1}^{+\infty} t\exp(-t)\,\mathrm dt

On a

 \exp(-t) = o\left(\frac{1}{t^3}\right)

donc

 t\exp(-t) = o\left(\frac{1}{t^2}\right)

Or

\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2} \,\mathrm dt

est convergente donc

\int_{1}^{+\infty} t\exp(-t)\,\mathrm dt

est convergente.

Exemples classiques[modifier | modifier le code]

Exemples de Riemann[modifier | modifier le code]

L'intégrale

 \int_{0}^{a} \frac{1}{x^\alpha}\mathrm{d}x

converge (pour la borne 0 à problème) si et seulement si \alpha < 1 avec a \in \R^*.

L'intégrale

 \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\mathrm{d}x

converge si et seulement si  \alpha > 1 avec a \in \R_+^*.

Intégrales de Bertrand[modifier | modifier le code]

L'intégrale \int_2^{+\infty}\frac1{x^\alpha\log(x)^\beta}\mathrm{d}x converge si et seulement si α > 1 ou (α = 1 et β > 1).

L'intégrale \int_0^{1/2}\frac1{x^\alpha|\log(x)|^\beta}\mathrm{d}x converge si et seulement si α < 1 ou (α =1 et β >1).

Intégrale de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Intégrale de Dirichlet.

L'intégrale

\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} \mathrm{d} t

est semi-convergente.