Involution (mathématiques)

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Une involution est une application f:E\to E, qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à un élément x de E redonne l'élément de départ : x.

En mathématiques, une involution est une application bijective qui est sa propre réciproque, c'est-à-dire par laquelle chaque élément est l'image de son image. C'est le cas par exemple du changement de signe dans l'ensemble des nombres réels, ou des symétries du plan ou de l'espace en géométrie euclidienne. En algèbre linéaire, les endomorphismes involutifs sont d'ailleurs appelées symétries.

De nombreux exemples d'involutions apparaissent dans des domaines variés des mathématiques, satisfaisant des propriétés de points fixes, notamment en combinatoire et en topologie. Une involution peut aussi être associée à un phénomène de dualité.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Le concept d'involution peut être étendu à d'autres objets mathématiques : en effet si l'on considère un monoïde (M, \star) dont l'élément neutre est noté e, on dit qu'un élément a de M est une involution (pour la loi \star) ou involutive (sur M) si et seulement si elle satisfait la relation :

 a \star a =e

Dans le cas des endomorphismes linéaires et des matrices carrées, si l'on prend E un espace vectoriel de corps de référence K, on a :

  • dans l'anneau ( \mathcal{L}(E), +, \circ), un élément f de \mathcal{L}(E) est involutif si et seulement si f \circ f = Id_E est vérifié avec Id_E l'élément neutre pour la loi \circ
  • dans l'anneau ( \mathcal{M}_n(K), +, \times ), un élément M de \mathcal{M}_n(K) est involutif si et seulement si M \times M = I_n est vérifié avec I_n l'élément neutre pour la loi \times

En effet, un des cas qui revient fréquemment est celui d'une involution dans un anneau par rapport à la deuxième loi.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Une involution admet un inverse : elle-même. Les applications involutives sont des bijections.

Si \ f est une involution sur E, et si \ g est une bijection de E vers F, de fonction inverse \ g^{-1}, alors g \circ f \circ g^{-1} est une involution sur F.

\ f étant une involution sur E, si \ g est une bijection sur E telle que f \circ g \; = \; g^{-1} \circ f \; , alors f \circ g \; est une involution sur E.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'application identité ainsi que la matrice identité sont involutives.

En analyse, pour tout nombre réel a, les applications x\mapsto\frac1{x-a}+a, définie sur ℝ\{a} et x\mapsto a-x, définie sur ℝ, sont des involutions.

En algèbre linéaire, les symétries sont des endomorphismes involutifs. Sur un espace vectoriel de dimension finie, un endomorphisme est involutif si et seulement si sa matrice (dans une base quelconque) est involutive.

En logique classique, la négation est involutive : « non non A » équivaut à « A » ; mais ce n'est pas le cas en logique intuitionniste.

Une permutation est une involution si et seulement si elle se décompose en cycles disjoints de longueurs inférieures ou égales à 2. Elle est ainsi exclusivement constituée de points fixes et de transpositions.

Voir aussi[modifier | modifier le code]