Exponentielle de base a

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Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu).

En analyse réelle, la fonction exponentielle de base a est la fonction notée  exp_a\, qui, à tout réel x\,, associe le réel  a^x\,. Elle n'a de sens que pour un réel  a\, strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels, la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier \,n associe  \,a^n. C'est donc la version continue d'une suite géométrique.

Elle s'exprime à l'aide de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sous la forme

\exp_a (x) = a^x = e^{x\ln(a)}\,

Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur \scriptstyle \R, prenant la valeur \scriptstyle  a en 1 et transformant une somme en produit.

Pour a différent de 1, c'est la réciproque de la fonction logarithme de base a. On appelle d'ailleurs ces fonctions parfois les fonctions antilogarithmes.

Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur \scriptstyle \R, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Elle permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologique dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population.

On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est \scriptstyle Na^x

De la puissance à l'exponentielle[modifier | modifier le code]

On considère un réel a strictement positif ; il est facile de définir an comme le produit de a par lui-même n fois pour tout entier n supérieur ou égal à 1,

\exp_a(n) = a^n = \underset{n \text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}

puis de définir a^0 = 1 et a^{-n} = \frac{1}{a^n}. On démontre aisément la propriété a^{n+m}=a^n \times a^m. Cette construction, assez naturelle, permet l'observation de phénomènes dits à croissance ou décroissance exponentielle.

Article détaillé : suite géométrique.
  • Exemple 1 : Imaginons une population dont la taille augmente de 30 % tous les 10 ans. Si on note \scriptstyle N la population en 1900, il est facile de calculer la population en 1910, 1920… qui sera de \scriptstyle N \times 1,3, puis \scriptstyle N\times 1,3^2… pour aboutir au bout de n décennies à \scriptstyle N \times 1,3^n. Il est même possible de déterminer la population en 1890, 1880… qui sera de \scriptstyle N \times 1,3^{-1}, \scriptstyle N \times 1,3^{-2}
  • Exemple 2 : Le carbone 14 a une décroissance radioactive de période  \scriptstyle T = 5 730 ans ce qui veut dire que tous les \scriptstyle T ans, le nombre de particules radioactives a été divisé par 2. Si on mesure, à un instant donné, le nombre \scriptstyle N de particules radioactives, au bout de n périodes, le nombre de particules radioactives n'est plus que de \scriptstyle N\times (1/2)^n.

La question qui se pose est de déterminer la taille de la population ou le nombre de particules radioactives entre deux mesures (la décennie pour la population ou la période pour la particule). Il s'agit donc de « combler les trous entre les entiers ». Une tentative peut être faite grâce à la racine n-ième : si la population a été multipliée en 10 ans par 1,3, on cherche à déterminer par combien elle est multipliée chaque année. Elle est multipliée par un réel q tel que \scriptstyle q^{10} = 1,3, c'est-à-dire \scriptstyle q=\sqrt[10]{1,3} que l'on note \scriptstyle 1,3^{1/10}.

On est donc capable de définir ar pour des exposants non entiers :

\exp_a(1/q)=a^{1/q} = \sqrt[q] a
\exp_a(p/q)=a^{p/q} = (\sqrt[q] a)^p = \sqrt[q]{a^p}.

On a ainsi « comblé les trous » et défini ar pour tout r rationnel. Pour définir ax pour tout réel x, il faut ajouter un argument de continuité : tout réel x est « aussi proche que l'on veut » d'un rationnel p/q ; la valeur de ax sera alors « proche de » ap/q.

Cette idée intuitive de ce que pourrait être ax apparaît très tôt — en même temps que la notation exponentielle, c'est-à-dire dès le XVIIe siècle[1]. Mais il faudra attendre les siècles suivants pour voir en \scriptstyle x \mapsto a^x :

  • une fonction ;
  • vérifiant ax + y = axay, c'est-à-dire transformant une somme en produit ;
  • continue ;
  • réciproque de la fonction logarithme (qui transforme un produit en somme) ;
  • dérivable et dont la dérivée est proportionnelle à la fonction.

Définitions[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs points d'entrée possible pour la définition de la fonction exponentielle : par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit) , par la propriété de sa dérivée (dérivée proportionnelle à la fonction), ou par ses relations avec la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien.

Par la propriété algébrique[modifier | modifier le code]

Définition — On appelle fonction exponentielle réelle, toute fonction continue de R dans R* transformant une somme en produit, c'est-à-dire toute fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle

\forall u,v\in\R,~f(u+v)=f(u)\cdot f(v).

Les valeurs d'une telle fonction f sont strictement positives et pour tout réel a > 0, l'unique f telle que f(1) = a est appelée exponentielle de base a et se note expa.

Une telle fonction est appelée un morphisme continu du groupe additif (R,+) dans le groupe multiplicatif (R*, ×).

La relation

f(u)=f\left(2\frac u2\right) =\left[ f\left(\frac u2\right)\right]^2

assure que la fonction est toujours à valeurs dans l'ensemble des réels strictement positifs.

Puis des considérations analogues à celles développées dans la section précédente assurent l'existence et l'unicité, pour tout réel a > 0, d'une fonction f définie sur les rationnels, vérifiant l'équation fonctionnelle, et prenant en 1 la valeur a.

La valeur de f(x) pour x irrationnel s'obtient par densité de ℚ dans ℝ et prolongement par continuité. La construction prouve l'unicité de la fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle et prenant en 1 la valeur a.

On prouve qu'alors f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

f'(x)=f'(0)\cdot f(x)\qquad f(0)=1.

On prouve aussi que la continuité en un seul point d'une solution de l'équation fonctionnelle assure sa continuité sur tout R.

À l'aide de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien[modifier | modifier le code]

Définition —  Soit a un réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a la fonction définie sur R par

 f(x)=e^{x\ln(a)}\,

 x\mapsto e^x est la fonction exponentielle et ln la fonction logarithme népérien.

Cette fonction est bien continue, transforme une somme en produit et prend la valeur a en 1.

Par une équation différentielle[modifier | modifier le code]

Définition —  On appelle fonction exponentielle toute fonction dérivable vérifiant l'équation différentielle et la condition initiale suivantes :

 f'=kf \qquad\text{et}\qquad f(0) = 1

k est un réel quelconque.

On peut remarquer que pour une telle fonction, k est la valeur de la dérivée en 0.

En supposant déjà connues les propriétés de la fonction exponentielle, c'est-à-dire le cas k = 1, on montre que pour tout réel k, l'unique solution de cette équation avec condition initiale est la fonction x ↦ exp(kx) et qu'elle transforme toute somme en produit, donc que cette définition coïncide avec celle ci-dessus « Par la propriété algébrique ».

Comme réciproque des fonctions logarithmes[modifier | modifier le code]

Définition —  Soit a un réel strictement positif, différent de 1. La fonction logarithme de base a est une bijection de R*+ dans R. On appelle fonction exponentielle de base a la bijection réciproque de la fonction logarithme de base a

 \exp_a(x) = y \Leftrightarrow x=\log_a(y)

pour tout réel x et tout réel y strictement positif.

La fonction logarithme étant continue, transformant un produit en somme et prenant la valeur 1 en a, sa bijection réciproque est continue, transforme une somme en produit et prend la valeur a en 1.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout a > 0 la fonction exponentielle de base a notée \exp_a ou x\mapsto a^x, par :

\forall x,\ a^x = \exp( x \ln(a)) = e^{x \ln(a)}.

On peut même écrire :

\forall (x,b),\ a^x = b^{x \log_b(a)}.

Les fonctions exponentielles « transforment une somme en un produit », on en déduit les propriétés :

a^0 = 1
a^1 = a
a^{x + y} =  a^x\cdot a^y
a^{x y}  =  \left( a^x \right)^y
\frac1{a^x} = \left(\frac1a \right)^x = a^{-x}
a^x\cdot b^x = (a b)^x
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels x et y.

Étude de fonction[modifier | modifier le code]

La fonction exponentielle de base a est dérivable sur R et sa dérivée a pour expression

\exp_a'(x)=\ln(a) \exp_a(x)\,

Puisque la fonction exponentielle est toujours positive, le signe de sa dérivée ne dépend que du signe de \ln(a). La fonction est donc strictement croissante lorsque la base a est strictement plus grande que 1, elle est strictement décroissante quand la base est inférieure à 1 et constante si on a pris pour base a=1.

Les limites de la fonction exponentielle de base a dépendent de la position de a par rapport à 1

  • si a > 1  \lim_{x \to + \infty}a^x=+ \infty et  \lim_{x \to - \infty}a^x=0
  • si a < 1  \lim_{x \to + \infty}a^x=0 et  \lim_{x \to - \infty}a^x=+\infty

La fonction exponentielle a un comportement prévisible par rapport à la fonction puissance : en cas d'indétermination en  + \infty c'est l'exponentielle qui l'emporte :

pour tout a > 1 et tout α strictement positif, \lim_{x \to + \infty}\frac{a^x}{x^{\alpha}}=+ \infty

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Leibniz n'hésite pas à utiliser la notation ax sans avoir une idée claire de ce que vaudrait \scriptstyle a^{\sqrt2}.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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