Sommation de Ramanujan

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Ne doit pas être confondu avec Somme de Ramanujan.

En analyse, la sommation de Ramanujan est une technique inventée par le mathématicien Srinivasa Ramanujan pour donner une valeur aux séries infinies divergentes. Bien que la sommation de Ramanujan pour des séries divergentes ne soit pas une somme dans son sens traditionnel, elle possède des propriétés qui la rendent mathématiquement valide dans l'étude des séries divergentes, pour lesquelles le résultat de la méthode de sommation habituelle n'est pas défini.

Sommation[modifier | modifier le code]

La sommation de Ramanujan est essentiellement une propriété des sommes partielles plutôt que de la somme totale, puisque cette dernière n'existe pas. Si l'on considère la formule d'Euler-Maclaurin sous sa forme sommatoire utilisant les nombres de Bernoulli, on obtient :

Ramanujan[1] a écrit, dans le cas où p tend vers l'infini :

C est une constante spécifique à cette fonction et son prolongement analytique (les limites de l'intégrale n'ont pas été fournies par Ramanujan, mais les valeurs rajoutées ci-dessus sont très probables). En comparant les deux formules et en supposant que R tend vers 0 quand x tend vers l'infini, on déduit dans le cas général, pour les fonctions f(x) non divergentes en x = 0 :

là où Ramanujan supposait que . En choisissant , on retrouve la sommation habituelle pour les séries convergentes. Pour les fonctions f(x) non divergentes en x = 1, on obtient :

C(0) a alors été proposé comme valeur de la somme de la série divergente. Elle relie la sommation à l'intégration.

La version convergente de sommation, pour les fonctions possédant la bonne condition de croissance, est alors :

.

Somme de séries divergentes[modifier | modifier le code]

Par la suite, indique une sommation de Ramanujan. Cette notation vient de l'un des carnet Ramanujan, sans aucune indication disant que c'est une nouvelle méthode de sommation.

Par exemple, la sommation  de 1 – 1 + 1 – ⋯ est :

.

Ramanujan a calculé ces sommations particulières pour des séries divergentes connues. Il est important de noter que les sommations de Ramanujan ne sont pas des sommes de séries au sens habituel du terme[2],[3] ; en particulier, les sommes partielles ne convergent pas vers cette valeur, signalée par le symbole . Par exemple, la sommation  de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ donne :

Par extension, on obtient pour les puissances positives paires :

et pour les puissances impaires, on obtient une relation avec les nombres de Bernoulli :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ramanujan summation » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks, Springer-Verlag, (lire en ligne), chap. 6 (« Ramanujan's Theory of Divergent Series »), p. 133-149.
  2. (en) « The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation », sur le blog de Terence Tao, .
  3. (en) « Infinite series are weird », sur skullsinthestars.com.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]