Intégrale elliptique

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Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme

$\int R\left(t,\sqrt{P(t)}\right)\;\mathrm dt$

où R est une fonction rationnelle à deux variables et P est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples.

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques :

$\begin{align}(1)&\quad\int [(At^2+B)(A't^2+B')]^{-1/2}~\mathrm dt\\ (2)&\quad\int t^2[(At^2+B)(A't^2+B')]^{-1/2}~\mathrm dt\\ (3)&\quad\int (1+Nt^2)^{-1} [(At^2+B)(A't^2+B')]^{-1/2}~\mathrm dt\end{align}$

appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique).

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.

Bibliographie

• Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes (Huzard-Courcier, Paris, 1828)
• Alfred George Greenhill (en), Les fonctions elliptiques et leurs applications chapitre II (G. Carré, Paris, 1895)
• Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications chapitre VII (Gauthier-Villars, Paris, 1897)
• Benjamin Osgood Pierce, A short table of integrals p. 66 (Ginn & co., Boston, MA, 1899)

Voir aussi

• Forme de Legendre (en)
• Fonction elliptique
• Courbe elliptique
• Ellipse (mathématiques)
• Application de Schwarz-Christoffel (en)