Intégrale elliptique

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Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme

$f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\;\mathrm {d} t$$f(x)=\int _{{c}}^{{x}}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\;{\mathrm {d}}t$

où $R$$R$ est une fonction rationnelle à deux variables, $P$$P$ est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et $c$$c$ est une constante.

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques :

${\begin{aligned}(1)&\quad \int \left((At^{2}+B)(A't^{2}+B')\right)^{-1/2}~\mathrm {d} t\\(2)&\quad \int t^{2}\left((At^{2}+B)(A't^{2}+B')\right)^{-1/2}~\mathrm {d} t\\(3)&\quad \int (1+Nt^{2})^{-1}\left((At^{2}+B)(A't^{2}+B')\right)^{-1/2}~\mathrm {d} t\end{aligned}}$${\begin{aligned}(1)&\quad \int \left((At^{2}+B)(A't^{2}+B')\right)^{{-1/2}}~{\mathrm {d}}t\\(2)&\quad \int t^{2}\left((At^{2}+B)(A't^{2}+B')\right)^{{-1/2}}~{\mathrm {d}}t\\(3)&\quad \int (1+Nt^{2})^{{-1}}\left((At^{2}+B)(A't^{2}+B')\right)^{{-1/2}}~{\mathrm {d}}t\end{aligned}}$

appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique).

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.

Paramétrisation

Les intégrales elliptiques sont caractérisées par un paramètre, qu'on peut définir de façon équivalente comme :

• l'angle modulaire α
• le module elliptique ou excentricité k=sin(α)
• le paramètre m=k²=sin²(α)

L'utilisation d'une écriture ou d'une autre n'altère pas la nature de l'intégrale.

Intégrales elliptiques incomplètes

Première espèce

Les intégrales elliptiques de première espèce s'écrivent sous la forme :

$F(\varphi ,k)=F(\varphi \,|\,k^{2})=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.$$F(\varphi ,k)=F(\varphi \,|\,k^{2})=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {{\mathrm d}\theta }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.$

Cette forme est appelée forme trigonométrique ; en faisant les changements de variables t=sin(θ), x=sin(φ), on obtient la forme de Jacobi :

$F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})\cdot (1-k^{2}t^{2})}}}.$$F(x;k)=\int _{{0}}^{{x}}{\frac {{\mathrm {d}}t}{{\sqrt {(1-t^{2})\cdot (1-k^{2}t^{2})}}}}.$

En utilisant l'angle modulaire :

$F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.$$F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {{\mathrm {d}}\theta }{{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}.$

En notant x=sn(u,k) on remarque qu'on a :

$F(x;k)=u;$$F(x;k)=u;$

ainsi, les fonctions elliptiques de Jacobi sont les réciproques des intégrales elliptiques incomplètes.

Deuxième espèce

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce s'écrivent sous la forme trigonométrique :

$E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta .$$E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,{\mathrm {d}}\theta .$

Leur forme de Jacobi est :

$E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.$$E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}{{\sqrt {1-t^{2}}}}}\,{\mathrm d}t.$

De même, avec l'angle modulaire :

$E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .$$E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,{\mathrm {d}}\theta .$

On a une fois encore un lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi

$E(\mathrm {sn} (u;k);k)=\int _{0}^{u}\mathrm {dn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=u-k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {sn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w=(1-k^{2})u+k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {cn} ^{2}(w;k)\,\mathrm {d} w.$$E({\mathrm {sn}}(u;k);k)=\int _{0}^{u}{\mathrm {dn}}^{2}(w;k)\,{\mathrm {d}}w=u-k^{2}\int _{0}^{u}{\mathrm {sn}}^{2}(w;k)\,{\mathrm {d}}w=(1-k^{2})u+k^{2}\int _{0}^{u}{\mathrm {cn}}^{2}(w;k)\,{\mathrm {d}}w.$

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude φ est donnée par E :

$m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),$$m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {{\mathrm d}^{2}}{{\mathrm d}\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),$

où a est le grand axe de l'ellipse, et e son excentricité.

Troisième espèce

Les intégrales elliptiques de troisième espèce Π s'écrivent sous la forme trigonométrique :

$\Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}$$\Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}\cdot {\frac {{\mathrm {d}}\theta }{{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}$

ou

$\Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}.$$\Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{{0}}^{{\sin \varphi }}{\frac {1}{1-nt^{2}}}\cdot {\frac {{\mathrm {d}}t}{{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}}.$

Le nombre n est appelé la caractéristique et peut prendre n'importe quelle valeur, indépendamment des autres arguments. On remarquera cependant que $\Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)$$\Pi (1;{\tfrac \pi 2}\,|\,m)$ est infini, quel que soit m.

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans ce cas

$\Pi (n;\,\mathrm {am} (u;k);\,k)=\int _{0}^{u}{\frac {\mathrm {d} w}{1-n\,\mathrm {sn} ^{2}(w;k)}}.$$\Pi (n;\,{\mathrm {am}}(u;k);\,k)=\int _{0}^{u}{\frac {{\mathrm {d}}w}{1-n\,{\mathrm {sn}}^{2}(w;k)}}.$

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude φ peut également s'exprimer grâce à Π :

$m(\varphi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi \,|\,e^{2}).$$m(\varphi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi \,|\,e^{2}).$

Intégrales elliptiques

Les versions « complètes » des intégrales elliptiques correspondent aux cas d'amplitude φ= π/2 soit x=1.

Première espèce

Les intégrales elliptiques de première espèce K sont définies par

$K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F\left(1;k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},$$K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F\left(1;k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},$

On peut utiliser son développement en série entière :

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }[P_{2n}(0)]^{2}k^{2n},$$K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{{n=0}}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{{2n}}={\frac {\pi }{2}}\sum _{{n=0}}^{\infty }[P_{{2n}}(0)]^{2}k^{{2n}},$

où les P_n sont les polynômes de Legendre, ce qui donne pour les premiers termes

$K(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\},$$K(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{{4}}+\cdots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{{2n}}+\cdots \right\},$

avec n!! la factorielle double de n.

Pour le calcul, il peut être intéressant de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique :

$K(k)={\frac {\pi /2}{\operatorname {agm} (1-k,1+k)}}.$$K(k)={\frac {\pi /2}{\operatorname {agm}(1-k,1+k)}}.$

Deuxième espèce

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce E sont définies par

$E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\mathrm {d} t,$$E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k)=\int _{0}^{{\pi /2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ {\mathrm {d}}\theta =\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}{{\sqrt {1-t^{2}}}}}{\mathrm {d}}t,$

Pour une ellipse de grand axe a et de petit axe b, donc d'excentricité $e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}$$e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}$, l'intégrale elliptique de deuxième espèce E(e) donne un quart du périmètre de l'ellipse c mesurée respectivement à a. En clair :

$c=4aE(e).$$c=4aE(e).$

On a également un développement en série entière :

$E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.$$E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left[{\frac {(2n)!}{2^{{2n}}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{{2n}}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{{2n}}}{2n-1}}-\cdots \right\}.$

Troisième espèce

Les intégrales elliptiques de troisième espèce Π peuvent être définies par :

$\Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.$$\Pi (n,k)=\int _{0}^{{\pi /2}}{\frac {{\mathrm {d}}\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.$

Elles peuvent parfois être définies avec l'opposée de la caractéristique n,

$\Pi '(n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.$$\Pi '(n,k)=\int _{0}^{{\pi /2}}{\frac {{\mathrm {d}}\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.$

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Elliptic integral » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Adrien-Marie Legendre, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes (Huzard-Courcier, Paris, 1828)
• Alfred George Greenhill, Les fonctions elliptiques et leurs applications chapitre II (G. Carré, Paris, 1895)
• Paul Appell et Émile Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications chapitre VII (Gauthier-Villars, Paris, 1897)
• Benjamin Osgood Pierce, A short table of integrals p. 66 (Ginn & co., Boston, MA, 1899)
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)

Voir aussi

• Forme de Legendre (en)
• Fonction elliptique
• Courbe elliptique
• Ellipse (mathématiques)
• Application de Schwarz-Christoffel (en)
• Intégrale non élémentaire