Intégrale elliptique

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Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme

f(x) = \int_{c}^{x} R\left(t,\sqrt{P(t)}\right)\;\mathrm{d}t

R est une fonction rationnelle à deux variables, P est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et c est une constante.

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques[1] :

\begin{align}(1)&\quad\int \left((At^2+B)(A't^2+B')\right)^{-1/2}~\mathrm{d}t\\
(2)&\quad\int t^2\left((At^2+B)(A't^2+B')\right)^{-1/2}~\mathrm{d}t\\
(3)&\quad\int (1+Nt^2)^{-1} \left((At^2+B)(A't^2+B')\right)^{-1/2}~\mathrm{d}t\end{align}

appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique).

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.

Paramétrisation[modifier | modifier le code]

Les intégrales elliptiques sont caractérisées par un paramètre, qu'on peut définir de façon équivalente comme :

  • l'angle modulaire α
  • le module elliptique ou excentricité k= sin α
  • le paramètre m=k2= sin2 α

L'utilisation d'une écriture n'altère pas la nature de l'intégrale.

Intégrales elliptiques incomplètes[modifier | modifier le code]

Première espèce[modifier | modifier le code]

Les intégrales elliptiques de première espèce s'écrivent sous la forme :

 F(\varphi,k) = F(\varphi \,|\, k^2) = F(\sin \varphi ; k) = \int_0^\varphi \frac {\mathrm d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.

Cette forme est appelée forme trigonométrique ; en faisant les changements de variables  t=\sin \theta, x=\sin \varphi , on obtient la forme de Jacobi :

 F(x ; k) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm dt}{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}}.

En utilisant l'angle modulaire :

 F(\varphi \setminus \alpha) = F(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \frac{\mathrm d \theta}{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2}}.

En notant x = \operatorname{sn}(u,k) on remarque qu'on a :

F(x;k) = u;

ainsi, les fonctions elliptiques de Jacobi sont les réciproques des intégrales elliptiques incomplètes.

Deuxième espèce[modifier | modifier le code]

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce s'écrivent sous la forme trigonométrique :

 E(\varphi,k) = E(\varphi \,|\,k^2) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, \mathrm d\theta.

Leur forme de Jacobi est :

 E(x;k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\, \mathrm dt.

De même, avec l'angle modulaire :

 E(\varphi \setminus \alpha) = E(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2} \,\mathrm d\theta.

On a une fois encore un lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi

E(\mathrm{sn}(u ; k) ; k) = \int_0^u \mathrm{dn}^2 (w ; k) \, \mathrm dw = u - k^2 \int_0^u \mathrm{sn}^2 (w ; k) \, \mathrm dw = (1-k^2)u + k^2 \int_0^u \mathrm{cn}^2 (w ; k) \, \mathrm dw.

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude \varphi\,\! est donnée par E:

m(\varphi) = a\left(E(\varphi,e)+\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\varphi^2}E(\varphi,e)\right),

a est le grand axe de l'ellipse, et e son excentricité.

Troisième espèce[modifier | modifier le code]

Les intégrales elliptiques de troisième espèce Π s'écrivent sous la forme trigonométrique :

 \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi  \frac{1}{1-n\sin^2 \theta}\frac {\mathrm d\theta}{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}}

ou

 \Pi(n ; \varphi \,|\,m) = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{1}{1-nt^2}\frac{\mathrm dt}{\sqrt{(1-m t^2)(1-t^2) }}.

Le nombre n est appelé la caractéristique et peut prendre n'importe quelle valeur, indépendamment des autres arguments. On remarquera cependant que \Pi(1; \tfrac \pi 2 \,|\,m)\,\! est infini, quel que soit m.

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans ce cas

 \Pi(n; \,\mathrm{am}(u;k); \,k) = \int_0^u \frac{\mathrm dw} {1 - n \,\mathrm{sn}^2 (w;k)}.

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude \varphi\,\! peut également s'exprimer grâce à Π:

m(\varphi)=a(1-e^2)\Pi(e^2 ; \varphi \,|\,e^2).

Intégrales elliptiques[modifier | modifier le code]

Les versions « complètes » des intégrales elliptiques correspondent aux cas d'amplitude φ=π/2 soit x=1.

Première espèce[modifier | modifier le code]

Les intégrales elliptiques de première espèce K sont définies par

K(k) = F(\tfrac{\pi}{2},k) = F(\tfrac{\pi}{2} \,|\, k^2) = F(1;k) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{\mathrm dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}},

On peut utiliser son développement en série entière :

K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty [P_{2 n}(0)]^2 k^{2n},

où les Pn sont les polynômes de Legendre, ce qui donne pour les premiers termes

K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \cdots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 k^{2n} + \cdots \right\},

avec n!! la factorielle double de n.

Pour le calcul, il peut être intéressant de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique :

K(k) = \frac {\pi /2}{\mathrm{agm}(1-k,1+k)}.

Deuxième espèce[modifier | modifier le code]

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce E sont définies par

E(k) = E\left(\frac{\pi}{2},k\right) = E(1;k)= \int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - k^2 \sin^2\theta}\ \mathrm d\theta = \int_0^1 \frac{\sqrt{1 - k^2 t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \mathrm dt,

Pour une ellipse de grand axe a et de petit axe b, donc d'excentricité  e = \sqrt{1 - b^2/a^2} , l'intégrale elliptique de deuxième espèce  E(e) donne un quart du périmètre de l'ellipse c mesurée respectivement à a. En clair :

 c = 4 a E(e).

On a également un développement en série entière :

E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n}= \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}.

Troisième espèce[modifier | modifier le code]

Les intégrales elliptiques de troisième espèce Π peuvent ếtre définies par :

\Pi(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm d\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}.

Elles peuvent parfois être définies avec l'opposée de la caractéristique n,

\Pi'(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm d\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}.

Note[modifier | modifier le code]

  1. E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, p. 515.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]