1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

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1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la série des entiers strictement positifs pris dans l'ordre croissant, est en analyse une série divergente.

La n-ième somme partielle de cette série est le nombre triangulaire :

.

La suite de ces sommes partielles est croissante et non majorée donc tend vers l'infini.

Bien que cette série ne possède donc a priori pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants, dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs, la théorie des cordes ou encore l'effet Casimir.

Définition[modifier | modifier le code]

La série a pour terme général . Sa n-ième somme partielle est donc le nombre triangulaire , égal à n(n + 1)/2. La suite tend vers l'infini : la série n'est donc pas convergente. Elle ne possède donc pas de somme au sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus sommable au sens de Cesàro.

À la différence de son homologue la série alternée des entiers 1 – 2 + 3 – 4 + …, la série 1 + 2 + 3 + 4 + … n'est pas sommable au sens d'Abel et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer une valeur. La valeur qu'on lui donne est –1/12[1](voir infra).

Sommabilité[modifier | modifier le code]

Heuristique[modifier | modifier le code]

Cahier de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Passage du premier cahier de Ramanujan[2].

Srinivasa Ramanujan présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son premier cahier[2],[3],[4]. La démonstration la plus simple n'est pas rigoureuse, mais permet néanmoins d'obtenir une idée de la sommation à obtenir.

Quelle que soit la « somme » de la série, appelons-la c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. En faisant abstraction des contraintes sur les opérations de séries infinies, multiplions-la par 4 et soustrayons le résultat :

La tâche est alors de sommer la série alternée des entiers, ce qui est plus simple car elle ressemble au développement en série entière de la fonction 1/(1 + x)2 pour x = 1, soit :

En divisant les deux côtés par −3, on obtient .

La sommation de Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ donne également −1/12.

Autre approche[modifier | modifier le code]

Une autre approche, là encore non-rigoureuse, permet de se faire simplement une idée d'une valeur possible pour la série. Elle consiste entre autres à abandonner les contraintes de stabilité des méthodes de sommation, ainsi que celles sur les opérations terme à terme entre deux séries.

Soient trois sommes distinctes, avec la somme des entiers naturels, telles que :


Déterminons  

Par définition : .

On remarque que , soit .

Donc i.e. ainsi .


Déterminons  

Par définition : .

On remarque que

Donc i.e. ainsi .


Déterminons , la somme des entiers naturels 

Par définition : .

On remarque que , soit .

Donc i.e. d’où

Ainsi .

Régularisation zêta[modifier | modifier le code]

La série peut être sommée par régularisation zêta. Lorsque la partie réelle de s est supérieure à 1, la fonction zêta de Riemann ζ(s) est égale à la somme . Cette somme diverge lorsque la partie réelle de s est inférieure ou égale à 1 ; en particulier, la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ qui résulte de s = –1 ne converge pas au sens ordinaire. En revanche, en étendant ζ par prolongement analytique, on trouve .

Une façon de calculer ζ(−1) est d'utiliser la relation entre la fonction zêta de Riemann et la fonction êta de Dirichlet. Lorsque les deux séries de Dirichlet convergent, on a les identités :

L'identité reste valable lorsque les deux fonctions sont étendues par prolongement analytique pour inclure les valeurs de s où les séries divergent. En substituant , on obtient et donc .

Limites des méthodes de sommation linéaires stables[modifier | modifier le code]

De nombreuses méthodes de sommations présentées dans l'article Série divergente se basent sur les trois propriétés de stabilité, linéarité et régularité.

Or, il ne peut pas exister de méthode à la fois régulière, stable et linéaire qui soit définie pour la somme des entiers naturels[5],[6]. Par conséquent, aucune des méthodes utilisées ci-avant dans l'article pour sommer la série 1 + 2 + 3 + ⋯ ne peut respecter simultanément ces trois propriétés.

Physique[modifier | modifier le code]

En théorie des cordes bosoniques, on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de D – 2 oscillateurs harmoniques quantiques indépendants, un pour chaque direction transverse, où D est le nombre de dimensions de l'espace-temps. Si la fréquence fondamentale d'oscillation est , alors l'énergie d'un oscillateur contribuant à la n-ième harmonique est . En utilisant la série divergente, la somme de toutes les harmoniques est . Au bout du compte, c'est ce fait, combiné au théorème de Goddard-Thorn (en), qui conduit la théorie des cordes bosoniques à n'être cohérente qu'en dimension 26[réf. souhaitée].

Un calcul similaire, faisant usage de la fonction zêta d'Epstein (en) au lieu de la fonction zêta de Riemann, est impliqué dans le calcul de la force Casimir[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ » (voir la liste des auteurs).

  1. Hardy 1949, p. 333.
  2. a et b (en) « Chapitre VIII - page 3 », Ramanujan's Notebooks.
  3. (en) Wazir Hasan Abdi, Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National, , p. 41.
  4. (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag, , p. 135-136.
  5. « 1+2+3+4+5+... = -1/12 ??? Infini 5 », sur youtube.com, (consulté le 24 mai 2017)
  6. La somme ne peut être calculée avec une méthode à la fois stable et linéaire car (1+2+3+⋯) - 2*(0+1+2+⋯) + (0+0+1+2+⋯) = 1+0+0+0+⋯ = 1 mais on a aussi (1+2+3+⋯) - 2*(0+1+2+⋯) + (0+0+1+2+⋯) = (1+2+3+⋯) -2*(1+2+3+⋯) + (1+2+3+⋯) = 0 donc 1 = 0
  7. (en) Eberhard Zeidler (de), Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer, (ISBN 978-3-54034-7644), p. 305-306.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Vulgarisation[modifier | modifier le code]

Jean-Pierre Ramis, « Les séries divergentes », Pour la Science, 350 (Décembre 2006), 132-139.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]