1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

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1 + 2 + 3 + 4 + ⋯, la somme des entiers naturels, est en analyse une série divergente.

Bien que cette série ne possède à priori pas de valeur significative, elle peut être manipulée pour produire un certain nombre de résultats mathématiquement intéressants, dont certains ont des applications dans d'autres domaines, comme l'analyse complexe, la théorie quantique des champs et la théorie des cordes.

Définition[modifier | modifier le code]

La série est définie par la suite (x_n)_{n\in\N^*} de terme général x_n = n et par la suite de ses sommes partielles (S_n)_{n\in\N^*}S_n = 1 + 2 + \ldots + n.

La ne somme partielle est le nombre triangulaire S_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}. Ce terme tend vers l'infini quand n fait de même : la série n'est donc pas convergente.

Comme la série 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots diverge, elle ne possède pas de somme dans le sens usuel du terme. Elle n'est pas non plus sommable au sens de Cesàro.

À la différence de son homologue, la série alternée des entiers 1 - 2 + 3 - 4 + \ldots, la série 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots n'est pas sommable au sens d'Abel et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour lui attribuer une valeur. Dans ce cas, la valeur qu'on lui donne est généralement -1/12[1](cf. infra).

Sommabilité[modifier | modifier le code]

Heuristique[modifier | modifier le code]

Srinivasa Ramanujan présente deux dérivations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 » au chapitre 8 de son premier carnet[2],[3],[4]. La dérivation la plus simple et la moins rigoureuse est développée de la manière suivante. Quelle que soit la « somme » de la série, appelons la c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Multiplions la par 4 et soustrayons le résultat :


\begin{alignat}{7}
 c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\
4c&{}={}&  4&&  {}+8&&{} +12+\cdots \\
-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\
\end{alignat}

La tâche est alors de sommer la série alternée des entiers, ce qui est plus simple car elle ressemble au développement en série entière de la fonction 1/(1 + x)2 pour x = 1, soit :

-3c=1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{(1+1)^2}=\frac14

En divisant les deux côtés par −3, on obtient c=-\frac{1}{12}.

Régularisation zêta[modifier | modifier le code]

La série peut être sommée par régularisation zêta. Lorsque la partie réelle de s est supérieure à 1, la fonction zêta de Riemann ζ(s) est égale à la somme \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}. Cette somme diverge lorsque la partie réelle de s est inférieure ou égale à 1 ; en particulier, la série 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ qui résulte de s = –1 ne converge pas au sens ordinaire. En revanche, en étendant ζ par prolongement analytique, on trouve \zeta(-1)=- \frac{1}{12}.

Une façon de calculer ζ(−1) est d'utiliser la relation entre la fonction zêta de Riemann et la fonction êta de Dirichlet. Lorsque les deux séries de Dirichlet convergent, on a les identités :


\begin{alignat}{8}
\zeta(s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots& \\
2\cdot2^{-s}\zeta(s)&{}={}&  2\cdot2^{-s}&&  {}+2\cdot4^{-s}&&{} +2\cdot6^{-s}+\cdots& \\
\left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots&=\eta(s) \\
\end{alignat}

L'identité (1-2^{1-s})\zeta(s)=\eta(s) reste valable lorsque les deux fonctions sont étendues par prolongement analytique pour inclure les valeurs de s où les séries divergent. En substituant s=-1, on obtient -3\zeta(-1)=\eta(-1)=\frac14 et donc \zeta(-1)=-\frac{1}{12}.

Sommation de Ramanujan[modifier | modifier le code]

La sommation de Ramanujan (en) de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ est également −1/12. Dans la seconde lettre de Ramanujan à Godfrey Harold Hardy, datée du 27 février 1913, il écrit :

« Dear Sir, I am very much gratified on perusing your letter of the 8th February 1913. I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking me to study carefully Bromwich's Infinite Series and not fall into the pitfalls of divergent series. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12 under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter.[5] »

Le roman de David Leavitt The Indian Clerk (en) inclut une scène où Hardy et Littlewood discutent du sens de ce passage[6].

Physique[modifier | modifier le code]

En théorie des cordes bosoniques, on tente de calculer les niveaux d'énergie possible d'une corde, tout particulièrement le niveau d'énergie minimal. De manière informelle, chaque harmonique d'une corde peut être perçue comme une collection de D-2 oscillateurs harmoniques quantiques indépendants, un pour chaque direction transverse, où D est le nombre de dimensions de l'espace-temps. Si la fréquence fondamentale d'oscillation est \omega, alors l'énergie d'un oscillateur contribuant à la ne harmonique est n\hbar\omega/2. En utilisant la série divergente, la somme de toutes les harmoniques est -\hbar\omega (D-2)/24. Au bout du compte, c'est ce fait, combiné au théorème de Goddard–Thorn (en), qui conduit la théorie des cordes bosoniques à n'être cohérente qu'en dimension 26.

Un calcul similaire, faisant usage de la fonction zêta d'Epstein (en) au lieu de la fonction zêta de Riemann, est impliqué dans le calcul de la force Casimir[7].

Annexes[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Bruce C. Berndt, Srinivasa Aiyangar Ramanujan et Robert A. Rankin, Ramanujan: letters and commentary, American Mathematical Society,‎ 1995 (ISBN 9780821802878)
  • (en) G.H. Hardy, Divergent Series, Clarendon Press,‎ 1949
  • (en) James Lepowsky, « Vertex operator algebras and the zeta function », Contemporary Mathematics, vol. 248,‎ 1999, p. 327–340 (arXiv math/9909178)
  • (en) A. Zee, Quantum field theory in a nutshell, Princeton UP,‎ 2003 (ISBN 978-0-6911-4034-6), p. 65-66
  • (en) Barton Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge UP,‎ 2004 (ISBN 9780521831437), p. 293

Références[modifier | modifier le code]

  1. Hardy 1949, p. 333.
  2. (en) « Chapitre VIII - page 3 », Ramanujan's Notebooks
  3. (en) Wazir Hasan Abdi, Toils and triumphs of Srinivasa Ramanujan, the man and the mathematician, National,‎ 1992, p. 41
  4. (en) Bruce C. Berndt, Ramanujan’s Notebooks: Part 1, Springer-Verlag,‎ 1985, p. 135–136
  5. Berndt, Ramanujan et Rankin 1995, p. 53.
  6. (en) David Leavitt, The Indian Clerk, Bloomsbury,‎ 2007, p. 61–62
  7. (en) Eberhard Zeidler, Quantum Field Theory I: Basics in Mathematics and Physics: A Bridge between Mathematicians and Physicists, Springer,‎ 2007 (ISBN 978-3-54034-7644), p. 305–306