Nombre taxicab

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En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1938[1] que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment construire le plus petit.

Nombres taxicab connus[modifier | modifier le code]

Majorants de nombres taxicab[modifier | modifier le code]

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De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab. L'entier est le plus petit qui est somme de deux cubes de façons différentes. Si on trouve un entier qui est somme de deux cubes de ' façons différentes, on a donc .

Histoire[modifier | modifier le code]

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anecdote impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes[2]. »

Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs ; John Leech obtint Ta(3) en 1957[3], E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991[4] et David W. Wilson trouva Ta(5) en 1999[5].

Ta(6)[6],[7] fut confirmé par Uwe Hollerbach sur la NMBRTHRY mailing list en 2008[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Taxicab number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers [détail des éditions], Thm. 412.
  2. Marcus Du Sautoy, La Symphonie des nombres premiers.
  3. (en) J. Leech, « Some Solutions of Diophantine Equations », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 53,‎ , p. 778-780.
  4. (en) E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel, « The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3 », Bull. Inst. Math. Appl., vol. 27,‎ , p. 155-157; MR 92i:11134 (lire en ligne).
  5. (en) David W. Wilson, « The Fifth Taxicab Number is 48 988 659 276 962 496 », Journal of Integer Sequences, vol. 2,‎ (lire en ligne).
  6. Message électronique de Randall L. Rathbun en 2002.
  7. (en) C. S. Calude, E. Calude et M. J. Dinneen, « What is the value of Taxicab(6)? », Journal of Universal Computer Science, vol. 9,‎ , p. 1196-1203.
  8. NMBRTHRY Archives - March 2008 (#10).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) D. J. Bernstein, « Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) », Math. Comp., vol. 70, no 233,‎ , p. 389-394 (DOI 10.1090/S0025-5718-00-01219-9)