Identités de Rogers-Ramanujan

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En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont les deux égalités de q-séries hypergéométriques (en) suivantes[1], qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers :

Histoire[modifier | modifier le code]

Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Leonard James Rogers (en) en 1894[2], puis trouvées (mais sans démonstration) par Srinivasa Ramanujan peu avant 1913[3]. Ramanujan a découvert l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié en commun une nouvelle preuve[4]. Issai Schur a lui aussi découvert ces identités et les a démontrées (indépendamment) en 1917[5].

Définition[modifier | modifier le code]

En utilisant le q-symbole de Pochhammer, les identités de Rogers-Ramanujan sont :

(suite A003114 de l'OEIS)

et

(suite A003106 de l'OEIS).

Symboles de Pochhammer[modifier | modifier le code]

Les symboles de Pochhammer qui interviennent sont :

Interprétations combinatoires[modifier | modifier le code]

Pour la première identité (G), le membre de droite peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts diffèrent d’au moins 2, et le membre de gauche est le nombre de partitions de n en parts congrues à ±1 modulo 5 (1, 4, 6, 9, etc.)[6],[7].

Pour la seconde (H) :

  • est la série génératrice des partitions en n parts telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2.
  • est la série génératrice des partitions telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Le nombre de partitions de n telles que deux parts adjacentes diffèrent d'au moins 2 et telles que la plus petite part est au moins 2 est égal au nombre de partitions of n telles que chaque part est congruente à 2 ou 3 modulo 5.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 375, th. 362 et 363.
  2. (en) Leonard James Rogers, « Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc., vol. 26, no 1,‎ , p. 15-32 (DOI 10.1112/plms/s1-26.1.15).
  3. Il les a communiquées à Percy Alexander MacMahon qui les a incluse dans son livre Combinatory Analysis, Cambridge University Press, Vol. 2, 1916, sans démonstration.
  4. (en) Leonard James Rogers et Srinivasa Ramanujan, « Proof of certain identities in combinatory analysis », Cambr. Phil. Soc. Proc., vol. 19,‎ , p. 211-216.
  5. (de) Issai Schur, « Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche », Sitzungsberichte der Berliner Akademie,‎ , p. 302-321.
  6. Hardy et Wright 2007, p. 376, th. 364.
  7. « Identité de Rogers-Ramanujan », sur Publimath.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rogers–Ramanujan identities » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]