Identités de Rogers-Ramanujan

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En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont deux égalités de q-séries, qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers.

Histoire[modifier | modifier le code]

Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Leonard James Rogers (en) en 1894[1], puis retrouvées (mais non prouvées) par Srinivasa Ramanujan avant 1913. Ramanujan a retrouvé l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié une nouvelle preuve[2]. Issai Schur a lui aussi redécouvert ces identités et les a re-prouvées (indépendamment) en 1917[3].

Définition[modifier | modifier le code]

En utilisant le q-symbole de Pochhammer, les identités de Rogers-Ramanujan sont :

G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}
	=1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots \,
suite A003114 de l'OEIS

et

H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = 
\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}
=1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots \,
suite A003106 de l'OEIS.

Interprétations combinatoires[modifier | modifier le code]

Pour la première identité (G) :

le membre de droite peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts différent d’au moins 2, et le membre de gauche est le nombre de partitions de n en parts congrues à 1 ou 4 modulo 5 (1,4,5,9, etc.)[4].

Généralisations[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rogers–Ramanujan identities » (voir la liste des auteurs).

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) L. J. Rogers, « Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc., vol. 26, no 1,‎ , p. 15-32 (DOI 10.1112/plms/s1-26.1.15)
  2. (en) L. J. Rogers et Srinivasa Ramanujan, « Proof of certain identities in combinatory analysis. », Cambr. Phil. Soc. Proc., vol. 19,‎ , p. 211-216
  3. (de) Issai Schur, « Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche », Sitzungsberichte der Berliner Akademie,‎ , p. 302-321
  4. Identité de Rogers-Ramanujan sur Publimath