Identités de Rogers-Ramanujan

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En combinatoire, les identités de Rogers-Ramanujan sont les deux égalités de q-séries hypergéométriques (en) suivantes[1], qui peuvent être interprétées comme des égalités entre des nombres de partitions d'entiers :

Histoire[modifier | modifier le code]

Elles ont été découvertes et prouvées dans un premier temps par Leonard James Rogers (en) en 1894[2], puis retrouvées (mais non prouvées) par Srinivasa Ramanujan peu avant 1913. Ramanujan a retrouvé l'article de Rogers en 1917 ; ils ont alors publié une nouvelle preuve[3]. Issai Schur a lui aussi redécouvert ces identités et les a redémontrées (indépendamment) en 1917[4].

Définition[modifier | modifier le code]

En utilisant le q-symbole de Pochhammer, les identités de Rogers-Ramanujan sont :

(suite A003114 de l'OEIS)

et

(suite A003106 de l'OEIS).

Interprétations combinatoires[modifier | modifier le code]

Pour la première identité (G), le membre de droite peut être interprété comme le nombre de partitions de n dont les parts diffèrent d’au moins 2, et le membre de gauche est le nombre de partitions de n en parts congrues à ±1 modulo 5 (1, 4, 6, 9, etc.)[5],[6].

Pour la seconde (H) :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Rogers–Ramanujan identities » (voir la liste des auteurs).

  1. G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, , p. 375, th. 362 et 363.
  2. (en) L. J. Rogers, « Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc., vol. 26, no 1,‎ , p. 15-32 (DOI 10.1112/plms/s1-26.1.15).
  3. (en) L. J. Rogers et Srinivasa Ramanujan, « Proof of certain identities in combinatory analysis. », Cambr. Phil. Soc. Proc., vol. 19,‎ , p. 211-216.
  4. (de) Issai Schur, « Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche », Sitzungsberichte der Berliner Akademie,‎ , p. 302-321.
  5. Hardy et Wright 2007, p. 376, th. 364.
  6. « Identité de Rogers-Ramanujan », sur Publimath.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]