Somme de Ramanujan

En théorie des nombres, une branche des mathématiques, une somme de Ramanujan, habituellement notée c_q(n), est une fonction de deux variables entières q et n, avec q ≥ 1, définie par la formule :

$c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop {\rm {pgcd}}(a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}$,

où le pgcd est le plus grand commun diviseur. La somme est donc effectuée sur les classes de congruence inversibles modulo q.

Srinivasa Ramanujan fit une publication sur le sujet en 1918. Les sommes de Ramanujan interviennent de façon récurrente en théorie des nombres, par exemple dans la preuve du théorème de Vinogradov sur les sommes de trois nombres premiers.

Notations

Pour 2 nombres entiers a et b, $a\mid b$ se lit "a divise b", et signifie qu'il existe un entier c tel que b = ac. De même, $a\nmid b$ se lit "a ne divise pas b".

Le symbole de sommation

$\sum _{d\,\mid \,m}f(d)$

signifie que d passe par tous les diviseurs positifs de m, par ex.

$\sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).$

$(a,\,b)$ est le plus grand diviseur commun,

$\phi (n)$ est l'indicatrice d'Euler,

$\mu (n)$ est la fonction de Möbius et

$\zeta (s)$ est la fonction zêta de Riemann.

Des formules pour c_q(n)

Formules trigonométriques

Ces formules proviennent de la formule d'Euler et des identités trigonométriques élémentaires.

${\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi =(-1)^{n}\\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi =j^{n}+j^{2n}\\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi =i^{n}+(-i)^{n}\\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}$

et ainsi de suite ( A000012,  A033999,  A099837,  A176742,  A100051...). Cela montre que c_q(n) est toujours un nombre réel (algébrique, comme somme de racines de l'unité).

Formule de Kluyver

Posons $\zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.$ ζ_q est donc une solution de l'équation x^q − 1 = 0. Chacune de ses puissances ζ_q, ζ_q², ... ζ_q^q = ζ_q⁰ = 1 est également une solution, et puisque ces q nombres sont distincts, ce sont toutes les solutions de l'équation. Les ζ_qⁿ où 1 ≤ n ≤ q sont appelées les racines q-èmes de l'unité. ζ_q est appelée une racine primitive, parce que la plus petite valeur de n telle que ζ_qⁿ = 1 est q. Les autres racines primitives sont les $\zeta _{q}^{a}$, où a et q sont premiers entre eux. Donc, il y a φ(q) racines primitives q-ièmes de l'unité.

La somme de Ramanujan c_q(n) est somme de puissances n-ièmes des racines primitives q-ièmes de l'unité.

Exemple. Supposons q = 12. Alors

ζ₁₂, ζ₁₂⁵, ζ₁₂⁷, et ζ₁₂¹¹ sont les racines primitives douzièmes de l'unité,

ζ₁₂² et ζ₁₂¹⁰ sont les racines primitives sixièmes de l'unité,

ζ₁₂³ = i et ζ₁₂⁹ = −i sont les racines primitives quatrièmes de l'unité,

ζ₁₂⁴ et ζ₁₂⁸ sont les racines primitives troisièmes de l'unité.

Par conséquent, si

$\eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}$

est la somme de la n-ième puissance de toutes les racines primitives et imprimitives,

$\eta _{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}c_{d}(n),$

on a par la formule d'inversion de Möbius,

$c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).$

Il résulte de l'identité x^q − 1 = (x − 1)(x^q-1 + x^q-2 + ... + x + 1) que

$\eta _{q}(n)={\begin{cases}0&\;{\mbox{ si }}q\nmid n\\q&\;{\mbox{ si }}q\mid n\\\end{cases}}$

et cela conduit à la formule

$c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,(q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d$,

publiée par Kluyver en 1906.

Cela montre que c_q(n) est toujours un entier ; cette formule est analogue à la formule classique sur l'indicatrice d'Euler :

$\phi (q)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.$

Fonction arithmétique de Von Sterneck

Il est facile de démontrer à partir de la définition que c_q(n) est multiplicative, lorsqu'elle est considérée comme une fonction de q pour une valeur fixe de n, c'est-à-dire que :

${\mbox{si }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ alors }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).$

À partir de la définition (ou de la formule de Kluyver), il est facile de prouver que, si p est un nombre premier,

$c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},$

et si p^k est un nombre premier élevé à la puissance k où k > 1, alors :

$c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.$

Ce résultat et la propriété multiplicative peuvent être utilisés pour montrer que

$c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.$

Cette expression est appelée la fonction arithmétique de von Sterneck. L'équivalence de cette fonction et de celle de Ramanujan est due à Hölder.

Autres propriétés de c_q(n)

Pour tous les entiers positifs q,

$c_{1}(q)=1,\;\;c_{q}(1)=\mu (q),\;{\mbox{ et }}\;c_{q}(q)=\phi (q).$

${\mbox{si }}m\equiv n{\pmod {q}}{\mbox{ alors }}c_{q}(m)=c_{q}(n).$

Pour q fixé, les valeurs absolues des termes de la suite c_q(1), c_q(2), ... sont majorées par φ(q), et pour n fixé, les valeurs absolues des termes de la suite c₁(n), c₂(n), ... sont majorées par n.

Si q > 1

$\sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.$

Posant m = ppcm(m₁, m₂), les sommes de Ramanujan satisfont une propriété d'orthogonalité :

${\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$

Supposez n, k > 0. Alors

$\sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},$

connu comme l'identité Brauer-Rademacher.

Si n > 0 et a est un entier, on a aussi

$\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a).$

Table

Somme de Ramanujan c_s(n)

		n
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
s	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1
	3	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2
	4	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2
	5	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4
	6	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2
	7	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1
	8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0
	9	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3
	10	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4
	11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	12	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4
	13	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1
	14	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1
	15	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8
	16	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0	0	8	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0
	17	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	16	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	18	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3	0	0	3	0	0	6	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3
	19	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	18	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	20	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	8	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8
	21	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2	1	1	−2	1	−6	−2	1	1	−2	1	1	12	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2
	22	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−10	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	10	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
	23	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	24	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	−8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	8	0	0	0	4	0	0
	25	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	20	0	0	0	0	−5
	26	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−12	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	12	1	−1	1	−1
	27	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	18	0	0	0
	28	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−12	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	12	0	2
	29	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	28	−1
	30	−1	1	2	1	4	−2	−1	1	2	−4	−1	−2	−1	1	−8	1	−1	−2	−1	−4	2	1	−1	−2	4	1	2	1	−1	8

Développements de Ramanujan

Si f(n) est une fonction arithmétique (c'est-à-dire une valeur complexe de la fonction des entiers ou des nombres naturels), alors une série infinie convergente de la forme :

$f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)$

ou de la forme:

$f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)$

où le a_k ∈ C, est appelé un développement de Ramanujan de f(n).

Ramanujan a trouvé les développements de beaucoup de fonctions bien connues de la théorie des nombres. Tous ces résultats sont prouvés de manière très "élémentaires" (c'est-à-dire uniquement à l'aide des manipulations de séries et de résultats simples sur la convergence).

Le développement de la fonction nulle dépend d'un résultat de la théorie analytique des nombres premiers, à savoir que la série semi-convergente

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}$

a pour valeur 0, et les résultats pour r(n) et r'(n) dépend de théorèmes publiés dans un document antérieur.

Toutes les formules présentées dans cette section sont tirées de la publication de Ramanujan de 1918.

Séries génératrices

Les séries génératrices des sommes de Ramanujan sont des séries de Dirichlet :

$\zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}$

est une série génératrice de la séquence c_q(1), c_q(2), ... où q est maintenue constante, et

${\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}$

est une fonction génératrice de la séquence c₁(n), c₂(n), ..., où n est maintenu constant.

Il y a aussi la double série de Dirichlet

${\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.$

σ_k(n)

σ_k(n) est la somme de la k-ème puissance des diviseurs de n, y compris 1 et n. σ₀(n), le nombre de diviseurs de n, est généralement écrit d(n) et σ₁(n), la somme des diviseurs de n, est généralement écrit σ(n).

Si s > 0,

$\sigma _{s}(n)=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right)$

et

$\sigma _{-s}(n)=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right).$

Mettons s = 1, nous avons alors

$\sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\dots \right).$

Si l'hypothèse de Riemann est vraie, et

$\sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\dots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\dots \right).$

d(n)

d(n) = σ₀(n) est le nombre de diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même.

${\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\dots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}$

où γ = 0.5772... est la constante d'Euler-Mascheroni.

φ(n)

L'indicatrice d'Euler φ(n) est le nombre de nombres entiers positifs inférieurs à n et premiers entre eux à n. Ramanujan définit une généralisation si

$n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots$

est la factorisation premier de n, et s est un nombre complexe. Supposez

$\phi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,$

alors  φ₁(n) = φ(n) est l'indicatrice d'Euler.

Il prouve que

${\frac {\mu (n)n^{s}}{\phi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}$

et il s'en sert pour montrer que

${\frac {\phi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\phi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\phi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\phi _{s+1}(3)}}+\dots .$

Supposez s = 1,

$\phi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\dots \right).$

Remarquez que la constante est l'inverse de un dans la formule pour σ(n).

Λ(n)

La fonction de Von Mangoldt Λ(n) = 0 sauf si n = p^k est une puissance d'un nombre premier, auquel cas c'est le logarithme naturel log p.

$-\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\dots$

Zéro

Pour tout n > 0,

$0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\dots .$

C'est l'équivalent du théorème des nombres premiers.

r_2s(n) (somme des carrés)

r_2s(n) est le nombre de manière de représenter n comme somme de 2s carrés, en comptant les différents ordres et signes (par ex., r₂(13) = 8, 13 = (±2)² + (±3)² = (±3)² + (±2)².)

Ramanujan définit une fonction δ_2s(n) et la référence dans une publication , dans lequel il prouve que r_2s(n) = δ_2s(n) pour s = 1, 2, 3, et 4. Pour s > 4, il montre que δ_2s(n) est une bonne approximation de r_2s(n).

s = 1 a une formule spéciale:

$\delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\dots \right).$

Dans les formules suivantes, les signes se répète avec une période de 4.

Si s ≡ 0 (mod 4),

$\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$

Si s ≡ 2 (mod 4),

$\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$

Si s ≡ 1 (mod 4) et s > 1,

$\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$

Si s ≡ 3 (mod 4),

$\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$

et donc,

${\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}$

r'_2s(n) (sommes de nombres triangulaires)

r'_2s(n) est le nombre de façons de n peut être représenté comme la somme de 2s nombres triangulaires (c'est-à-dire le nombre 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; le n-ième nombre triangulaire est donnée par la formule n(n + 1)/2.)

L'analyse ici est similaire à celle pour les carrés. Ramanujan se réfère à la même publication qu'il a écrit sur les carrées, où il a montré qu'il existe une fonction δ'_2s(n) tel que r'_2s(n) = δ'_2s(n) pour s = 1, 2, 3, et 4, et que pour s > 4, δ'_2s(n) est une bonne approximation de r'_2s(n).

Encore une fois, s = 1, il faut une formule spéciale:

$\delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\dots \right).$

Si s est un multiple de 4,

$\delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\dots \right).$

Si s est le double d'un nombre impair,

$\delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\dots \right).$

Si s est un nombre impair et s > 1,

$\delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\dots \right).$

Par conséquent,

${\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\dots \right)\\r'_{4}(n)&=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\dots \right)\\r'_{6}(n)&={\frac {({\tfrac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\tfrac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\dots \right)\\r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {1}{2}}\pi )^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\dots \right)\end{aligned}}$

Sommes

Supposez

${\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\dots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}$

Ensuite, pour s > 1,

${\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\dots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots ,\\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots ,\\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right).\end{aligned}}$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ramanujan's sum » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

• (en) G. H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, AMS / Chelsea, 1999 (ISBN 978-0-8218-2023-0)
• (en) John Knopfmacher, Abstract Analytic Number Theory , Dover, 1990 (ISBN 0-486-66344-2)
• (en) Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: the Classical Bases, vol. 164 de Graduate Texts in Mathematics, 1996 (ISBN 0-387-94656-X).
• (en) C. A. Nicol, Some formulas involving Ramanujan sums, Canad. J. Math., vol. 14, 1962, p. 284-286 DOI 10.4153/CJM-1962-019-8
• (en) Srinivasa Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers, volume 22, issue 15 du journal Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1918, pages 259-276
• (en) Srinivasa Ramanujan, « On Certain Arithmetical Functions », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22, n^o 9, 1916, p. 159-184
• (en) Ramanujan Srinivasa, Collected Papers, 2000 (ISBN 978-0-8218-2076-6)
• (en) Wolfgang Schwarz, Jürgen Spilker, Arithmetical Functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties, 1994, Cambridge University Press (ISBN 0-521-42725-8)

Articles connexes

• Période de Gauss
• Somme de Gauss
• Somme de Kloosterman