Fonction thêta

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Fonction theta de Jacobi avec et Par convention (mathematica) : soit encore: par changement de variable.

En mathématiques, on appelle fonctions thêta certaines fonctions spéciales d'une ou de plusieurs variables complexes. Elles apparaissent dans plusieurs domaines, comme l'étude des variétés abéliennes, des espace de modules, et les formes quadratiques. Elles ont aussi des applications à la théorie des solitons. Leurs généralisations en algèbre extérieure apparaissent dans la théorie quantique des champs, plus précisément dans la théorie des cordes et des D-branes.

Les fonctions thêtas les plus courantes sont celles qui apparaissent en théorie des fonctions elliptiques. Elles vérifient par rapport à l'une de leurs variables (traditionnellement z) certaines relations fonctionnelles qui traduisent les formules d'addition des périodes des fonctions elliptiques associées (quelquefois appelée quasi-périodicité, à ne pas confondre avec la notion homonyme en dynamique).

Fonction thêta de Jacobi[modifier | modifier le code]

La fonction thêta de Jacobi est une fonction de deux variables complexes. C'est la somme totale de la série

qui n'est définie que lorsque z décrit le plan complexe et le demi-plan de Poincaré des complexes de partie imaginaire strictement positive.

Cette fonction est périodique en la variable , de période 1. Autrement dit elle satisfait l'équation fonctionnelle suivante.

Cela se vérifie directement, car à fixé, la série définissant la fonction thêta a la forme d'une série de Fourier.

La fonction se comporte aussi très régulièrement en respectant l'addition par et satisfait l'équation fonctionnelle

et sont des entiers.

Fonction Theta pour différentes valeurs de Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par
Fonction Theta pour différentes valeurs de Le point noir à droite représente les différentes valeurs prises par

Fonctions auxiliaires[modifier | modifier le code]

Il est pratique de définir trois fonctions thêta auxiliaires, que nous pouvons écrire

Cette notation suit celle de Riemann et de Mumford ; la formulation originelle de Jacobi était en termes du nome plutôt que , et thêta appelé avec en termes de nommé et appelé

Si nous fixons z = 0 dans les fonctions thêta précédentes, nous obtenons quatre fonctions de seulement, définies sur le demi-plan de Poincaré (quelquefois appelées constantes thêta). Celles-ci peuvent être utilisées pour définir une variété de formes modulaires, et pour paramétrer certaines courbes; en particulier l'identité de Jacobi est

laquelle est la courbe de Fermat de degré quatre.

Identités de Jacobi[modifier | modifier le code]

Les identités de Jacobi décrivent comment les fonctions thêta transforment sous le groupe modulaire. Soit

Alors

Voir aussi : (en) Proof of Jacobi's identity for functions de PlanetMath

Représentations de produits[modifier | modifier le code]

La fonction thêta de Jacobi peut être exprimée comme un produit, à travers le théorème du triple produit de Jacobi :

Les fonctions auxiliaires ont les expressions, avec  :

Représentations intégrales[modifier | modifier le code]

Les fonctions thêta de Jacobi ont les représentations intégrales suivantes :

Relation avec la fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Notons qu'en utilisant la formule sommatoire de Poisson et que est sa propre transformée de Fourier on obtient

Cette relation fut utilisée par Riemann pour démontrer l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, signifiant l'intégrale

dont on peut montrer qu'elle est invariante par substitution de s par 1 – s. L'intégrale correspondante pour z différent de zéro est donnée dans l'article sur la fonction zêta de Hurwitz.

Relation avec la fonction elliptique de Weierstrass[modifier | modifier le code]

La fonction thêta fut utilisée par Jacobi pour construire (dans une forme adaptée pour un calcul facile) ses fonctions elliptiques comme des quotients des quatre fonctions thêta précédentes, et il aurait pu l'utiliser pour construire aussi les fonctions elliptiques de Weierstrass, puisque

où la seconde dérivée a lieu par rapport à z et la constante c est définie comme le développement de Laurent de à z = 0 ne possède aucun terme constant.

Certaines relations avec les formes modulaires[modifier | modifier le code]

Soit la fonction êta de Dedekind. Alors

.

Comme solution de l'équation de la chaleur[modifier | modifier le code]

La fonction thêta de Jacobi est l'unique solution de l'équation de la chaleur à une dimension avec des conditions aux limites périodiques au temps zéro. Ceci est plus facile à voir en prenant z=x réel, et en prenant avec t réel et positif. Alors, nous pouvons écrire

qui résout l'équation de la chaleur

Le fait que cette solution soit unique peut être vu en notant qu'à t = 0, la fonction thêta devient le peigne de Dirac :

est la fonction δ de Dirac. Ainsi, la solution générale peut être précisée en juxtaposant la condition aux limites (périodique) à t = 0 avec la fonction thêta.

Relation avec le groupe de Heisenberg[modifier | modifier le code]

La fonction thêta de Jacobi peut être pensée comme le prolongement d'une représentation du groupe de Heisenberg en mécanique quantique, quelquefois appelée la représentation thêta (en). Ceci peut être vu en construisant le groupe explicitement. Soit f(z) une fonction holomorphe, soit a et b des nombres réels, et fixons une valeur de Alors, définissons les opérateurs et tels que

et

Notons que

et

mais S et T ne commutent pas :

Ainsi, nous voyons que S et T ensemble avec une phase unitaire forme un groupe de Lie nilpotent, le groupe de Heisenberg (réel continu), paramétrable par où U(1) est le groupe unitaire. Un élément de groupe général alors agit sur une fonction holomorphe f(z) comme

Notons que U(1) = Z(H) est à la fois le centre de H et le groupe dérivé [H, H].

Définissons le sous-groupe comme

Alors, nous voyons que la fonction thêta de Jacobi est une fonction entière de z qui est invariante sous Γ, et l'on peut montrer que la fonction thêta de Jacobi est une telle fonction unique.

La représentation thêta ci-dessus du groupe d'Heisenberg peut être reliée à la représentation canonique de Weyl du groupe d'Heisenberg comme suit. Fixons une valeur pour et définissons une norme sur les fonctions entières du plan complexe comme

Soit l'ensemble des fonctions entières f de norme finie. Notons que est un espace hilbertien, que est unitaire sur , et que est irréductible sous cette action. Alors et L2(R) sont isomorphes comme H-modules (en), où H agit sur comme

pour et .

Voir aussi le théorème de Stone-von Neumann (en) pour plus de développements sur ces idées.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Si F est une forme quadratique de n variables, alors la fonction thêta associée avec F est

avec la somme s'étendant sur le réseau des entiers ℤn. Cette fonction thêta est une forme modulaire de poids n/2 (sur un sous-groupe défini de manière approprié) du groupe modulaire. Dans le développement de Fourier,

les nombres RF(k) sont appelés les nombres de représentation de la forme.

Fonction thêta de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Article détaillé : fonction thêta de Ramanujan (en).

Fonction thêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Soit

l'ensemble des matrices carrées symétriques dont la partie imaginaire est définie positive ; est l'analogue multi-dimensionnel du demi-plan de Poincaré. L'analogue n-dimensionnel du groupe modulaire est le groupe symplectique Sp(2n, Z) ; pour n = 1, Sp(2, Z) = SL(2, Z). L'analogue (n – 1)-dimensionnel des sous-groupes de congruence est .

Alors, donné, la fonction thêta de Riemann est définie comme suit

Ici, est un vecteur complexe n-dimensionnel, et l'exposant T désigne la transposition. La fonction thêta de Jacobi est alors un cas particulier, avec n = 1 et H est le demi-plan de Poincaré.

Références[modifier | modifier le code]