Nombre hautement composé

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Un nombre hautement composé est un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que n'en ont les nombres qui le précèdent.

Raymond Badiou a proposé de les appeler nombres ploutons (de ploutos, divinité de la richesse) [1].

Historique[modifier | modifier le code]

La définition et l'appellation de ces nombres a été introduite en 1915 par Srinivasa Ramanujan [2].

Cependant, Jean-Pierre Kahane a suggéré que le concept était connu de Platon qui a établi à 5040 le nombre idéal de citoyens dans une cité, sa propriété d'avoir de nombreux diviseurs permettant de les répartir en de nombreux sous-groupes de même taille [3]. Il est plus probable que 5040 ait été simplement choisi pour sa propriété d'être égal à .

Premières valeurs[modifier | modifier le code]

Les vingt-et-un premiers nombres hautement composés sont les suivants (huit d'entre eux, soulignés, sont même hautement composés supérieurs) :

nombres hautement composés
(suite A002182 de l'OEIS)
1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1 260 1 680 2 520 5 040 7 560 10 080
nombres de diviseurs positifs
(suite A002183 de l'OEIS)
1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64 72
décomposition en facteurs premiers 2 2
3

3

3

2⁴
3

3
5

3
5


5
2⁴
3
5


5
2⁴

5

3
5
7


5
7
2⁴
3
5
7


5
7
2⁴

5
7


5
7
2⁵

5
7
décomposition en
produit de primorielles
2 22 6 2
6
22
6
62 23
6
2
30
22
30
6
30
23
30
2
6
30
22
6
30
22
210
6
210
23
210
2
6
210
22
6
210
62
210
23
6
210

On peut noter que les 7 premières factorielles : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, sont hautement composées, mais 8!=40320 ne l'est pas.

Décroissance des exposants de la décomposition en produit de facteurs premiers[modifier | modifier le code]

Pour donner une idée de la forme d'un nombre hautement composé, on peut dire qu'il s'agit d'un nombre possédant des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes. En effet, si l'on considère la décomposition d'un entier en facteurs premiers comme suit :

sont les premiers nombres premiers, et où le dernier exposant est non nul, alors le nombre de diviseurs de est :

Par conséquent, pour que soit hautement composé, il faut[2] que (sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue tout en conservant le même nombre de diviseurs : par exemple 18 = 21 × 32 peut être remplacé par 12 = 22 × 31, chacun a 6 diviseurs). Cette condition nécessaire équivaut à : est décomposable en produits de primorielles. Tout nombre hautement composé est donc un nombre pratique.

Cette condition n'est malheureusement pas suffisante ; par exemple, remplit la condition de décroissance mais n'est pas hautement composé : possède également 12 diviseurs tout en étant strictement plus petit.

On peut aussi montrer[2] qu'on a toujours , sauf dans deux cas particuliers et .

Propriété d'abondance[modifier | modifier le code]

Les nombres hautement composés strictement supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d'œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d'un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait.

Évaluation asymptotique[modifier | modifier le code]

Si représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à , Ramanujan a montré en particulier[2] que

ce qui prouve qu'il y a une infinité de nombres hautement composés.

Plus précisément, il existe une constante b telle que

La minoration de fut prouvée par Paul Erdős en 1944[4] et la majoration par Jean-Louis Nicolas (en) en 1971[5].

Exemple[modifier | modifier le code]

Le nombre hautement composé
10 080  =  25 × 32 ×  5  ×  7
 a 72 diviseurs.
1
×
10080
2
×
5040
3
×
3360
4
×
2520
5
×
2016
6
×
1680
7
×
1440
8
×
1260
9
×
1120
10
×
1008
12
×
840
14
×
720
15
×
672
16
×
630
18
×
560
20
×
504
21
×
480
24
×
420
28
×
360
30
×
336
32
×
315
35
×
288
36
×
280
40
×
252
42
×
240
45
×
224
48
×
210
56
×
180
60
×
168
63
×
160
70
×
144
72
×
140
80
×
126
84
×
120
90
×
112
96
×
105
Les nombres en gras sont eux-mêmes hautement composés.
Seul le vingtième nombre hautement composé 7 560 (= 3 × 2 520) est absent.

Le nombre 10 080 est également « 7-friable », c'est-à-dire que tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à 7.

Utilisation[modifier | modifier le code]

Certains de ces nombres sont utilisés dans les systèmes traditionnels de mesure, et ont tendance à être utilisés en ingénierie, en raison de leur usage dans les calculs de fractions compliqués, ainsi 12 et 60.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Highly composite number » (voir la liste des auteurs).
  1. Raymond Badiou, « Sur les nombres entiers " riches en diviseurs " », Bulletin de l'APMEP N°249,‎ , p. 409-414 (lire en ligne)
  2. a b c et d (en) S. Ramanujan, « Highly composite numbers », Proc. London Math. Soc. (2), vol. 14,‎ , p. 347-409 (DOI 10.1112/plms/s2_14.1.347, zbMATH 45.1248.01).
  3. (en) Kahane, Jean-Pierre, « Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre », Notices of the American Mathematical Society,‎ , p. 136–140.
  4. (en) P. Erdős, « On highly composite numbers », J. London Math. Soc., vol. 19,‎ , p. 130-133 (lire en ligne).
  5. J.-L. Nicolas, « Répartition des nombres hautement composés de Ramanujan », Canad. J. Math., vol. 23, n° 1, 1971, p. 116-130.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]