Fraction continue généralisée

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En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme :

comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les ai sont égaux à 1[1].

Notations[modifier | modifier le code]

Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques :

an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.

Des notations plus compactes sont employées :

[2].

Carl Friedrich Gauss utilisa une notation rappelant la notation Σ des séries ou Π du produit infini :

où la lettre K est l'initiale de Kettenbruch, signifiant « fraction continue » en allemand.

Dans la suite, on adopte l'écriture d'Alfred Pringsheim :

Transformations de Möbius[modifier | modifier le code]

L'observation suivante va rendre naturel le calcul des réduites. Les fonctions ρn définies par

sont des composées de fonctions homographiques :

Les matrices associées vérifient alors

si bien que[3]

où les hn et kn sont définis par

Réduites[modifier | modifier le code]

Des formules précédentes découlent celles sur les numérateurs et dénominateurs des réduites, généralisant celles des réduites d'une fraction continue simple :

Conversions[modifier | modifier le code]

Si (cn)n>0 est une suite de complexes non nuls alors c'est-à-dire que ces deux fractions continues ont mêmes réduites.

En particulier :

  • si tous les ai sont non nuls alors, en choisissant c1 = 1/a1 et cn+1 = 1/(an+1cn), on se ramène à une fraction continue ordinaire :
  • si tous les bi sont non nuls, on peut construire de même une suite (dn)n>0 telle que en posant d1 = 1/b1 et pour n > 1, dn+1 = 1/(bn+1bn).

Ces deux conversions sont extrêmement utiles dans l'analyse du problème de convergence.

Une autre, également découverte par Euler[4], permet de compacter une fraction continue simple ayant une « quasipériode » de longueur paire 2r en une fraction continue généralisée « presque » simple — ou inversement, de développer certaines fractions généralisées en fractions simples — en appliquant r fois la formule suivante :

l'égalité signifiant ici que pour tout entier naturel k, la réduite d'indice k de la fraction généralisée de droite est égale à celle d'indice 3k de la fraction simple de gauche.

Équation du second degré[modifier | modifier le code]

L'Algebra de Raphaël Bombelli contient la première fraction continue connue en Europe, elle correspond à celle donné en exemple dans ce paragraphe.

Un exemple d'illustration de l'arrivée naturelle d'une fraction continue généralisée est l'équation du second degré. Étudions le cas particulier, correspondant à celle de Bombelli[5], la première connue en Europe :

En remplaçant x par sa valeur, on obtient, comme valeur de x :

En notation de Pringsheim, la fraction ƒ prend la forme suivante :

Un calcul manuel montre que ses premières réduites sont 6, 20/3, 33/5, 218/33, 720/109. On démontre que cette suite tend vers une des deux racines : celle égale à 3 + 13. À l'époque de Bombelli, l'intérêt principal de cette fraction continue était d'offrir une méthode d'extraction de racine : le calcul de la fraction permet d'approcher 13 avec toute la précision souhaitée.

Pour une solution d'une équation du second degré arbitraire, Euler écrit le même développement[6]. On peut montrer (cf. article détaillé) que si l'équation a une racine double non nulle ou deux racines de modules distincts, cette fraction continue généralisée tend vers la racine de plus grand module mais que sinon, la fraction continue n'est pas convergente.

Leonhard Euler calcule le premier développement en fraction continue généralisée d'une fonction.

Fractions continues de π et de e[modifier | modifier le code]

La fraction continue de π n'offre aucune régularité donc son calcul est inextricable. Ce nombre admet en revanche de multiples développements en fractions continues généralisées. La première apparition d'une telle fraction est la formule de Brouncker :

Une démonstration de cette égalité figure dans l'article « Formule de fraction continue d'Euler », par évaluation au point 1 d'une fraction continue généralisée de la fonction Arctangente. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions. De même, Euler a développé la fonction exponentielle en une fraction continue généralisée d'une forme appropriée : de manière à obtenir la fraction continue simple de e :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Les dénominateurs d'une fraction continue simple sont usuellement notés ai, contrairement à ceux d'une fraction continue généralisée où ils sont le plus souvent notés bi, les ai désignant alors les numérateurs.
  2. (en) Jacques Dutka, « Wallis's product, Brouncker's continued fraction, and Leibniz's series », Arch. Hist. Exact Sci., vol. 26, no 2,‎ , p. 115-126.
  3. Ces calculs, purement algébriques, restent valables génériquement, dans le corps de fractions rationnelles (à coefficients rationnels) d'indéterminées z, b0, a1, b1, a2etc.
  4. (la) L. Euler, De fractionibus continuis dissertatio, 1744, § 25.
  5. R. Bombelli, L'Algebra, 1572, cf. (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Bombelli: Algebra », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..
  6. (la) L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, vol. I, chap. 18.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]