Théorème de Gelfond-Schneider

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En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider, s'énonce de la façon suivante :

Si α est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si β est un nombre algébrique irrationnel alors αβ est transcendant.

« Le » nombre αβ est à prendre ici au sens : exp(β log(α)), où log(α) est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de α.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert, et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 22 (la constante de Gelfond-Schneider), 22, ou encore eπγ pour tout nombre réel algébrique γ (en posant α = e = –1 et β = –iγ), par exemple eπ = (–1)–i (la constante de Gelfond) ou e–π/2 = ii.

Mais par contraposée on en déduit aussi :

Si β est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique α différent de 0 et de 1 pour lequel αβ soit algébrique, alors β est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel ln 3/ln 2 est transcendant (en utilisant α = 2).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Julien Haristoy et Édouard Oudet, « Autour du septième problème de Hilbert : une excursion en transcendance », L'Ouvert (revue de l'IREM de Strasbourg et de l'APMEP d'Alsace), vol. 107,‎ , p. 39-54 (lire en ligne)