Quintuplet de nombres premiers

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Article principal : Suite de nombres premiers.

Un quintuplet de nombres premiers est, au sens le plus commun, un n-uplet de cinq nombres premiers.

Les recherches en théorie des nombres sur les nombres premiers ont amené les mathématiciens à définir et examiner des quintuplets particuliers, dont les termes premiers répondent à des conditions précises.

Les quintuplets de nombres premiers les plus étudiés regroupent des nombres premiers successifs, c'est-à-dire séparés par quatre distances minimales. Cette définition encore générale ne présente toujours pas beaucoup d'intérêt puisque, les nombres premiers étant en quantité infinie, il est toujours possible de rassembler ces nombres successifs 5 par 5, et ce jusqu'à l'infini.

Quintuplet de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

En pratique, la notion de quintuplet de nombres premiers, au sens strict habituellement rencontrée dans la littérature mathématique, concerne les quintuplets de la forme pour le type 1, ou pour le type 2, dans lesquels tous les termes sont des nombres premiers.

Un tel quintuplet est donc issu d'un quadruplet de nombres premiers auquel on a ajouté un cinquième terme :

  • soit à droite p + 12 (type 1),
  • soit à gauche p – 4 (type 2).

Propriétés des quintuplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

Un quintuplet de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants contient :

  • deux paires de nombres premiers jumeaux proches : « (p, p + 2) » et « (p + 6, p + 8) »
  • un quadruplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants : « (p, p + 2, p + 6, p + 8) »
  • trois triplets de nombres premiers d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : « (p, p + 2, p + 6) », « (p + 2, p + 6, p + 8) », « (p + 6, p + 8, p + 12) » dans le cas du type 1 ou « (p - 4, p, p + 2) », « (p, p + 2, p + 6) », « (p + 2, p + 6, p + 8) » dans le cas du type 2.

Liste de quintuplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

Les dix plus petits quintuplets de nombres premiers de type 1 (ajout d'un terme p + 12 à droite d'un quadruplet) sont :

  • (5, 7, 11, 13, 17) ;
  • (11, 13, 17, 19, 23) ;
  • (101, 103, 107, 109, 113) ;
  • (1 481, 1 483, 1 487, 1 489, 1 493) ;
  • (16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073) ;
  • (19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433) ;
  • (21 011, 21 013, 21 017, 21 019, 21 023) ;
  • (22 271, 22 273, 22 277, 22 279, 22 283) ;
  • (43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793) ;
  • (55 331, 55 333, 55 337, 55 339, 55 343).

Les onze plus petits quintuplets de nombres premiers de type 2 (ajout d'un terme p – 4 à gauche d'un quadruplet) sont :

  • (7, 11, 13, 17, 19) ;
  • (97, 101, 103, 107, 109) ;
  • (1 867, 1 871, 1 873, 1 877, 1 879) ;
  • (3 457, 3 461, 3 463, 3 467, 3 469) ;
  • (5 647, 5 651, 5 653, 5 657, 5 659) ;
  • (15 727, 15 731, 15 733, 15 737, 15 739) ;
  • (16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069) ;
  • (19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429) ;
  • (43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789) ;
  • (79 687, 79 691, 79 693, 79 697, 79 699) ;
  • (88 807, 88 811, 88 813, 88 817, 88 819).

Dénombrement des quintuplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants[modifier | modifier le code]

On ignore s'il existe un nombre infini de tels quintuplets.

Démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux ne démontrera pas qu'il existe aussi une infinité de quintuplets de nombres premiers, ni même une infinité de tels triplets.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime quadruplet » (voir la liste des auteurs).

Liens externes[modifier | modifier le code]

  • (en) Suite OEISA022006 de l'OEIS : liste des premiers termes des quintuplets de nombres premiers de type 1
  • (en) Suite suite A022007 de l'OEIS de l'OEIS : liste des premiers termes des quintuplets de nombres premiers de type 2