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Analyse réelle

L'analyse réelle est fondée sur la définition de l'ensemble des nombres réels par Dedekind et Cauchy. La notion de limite s'y exprime en termes d'intervalles et peut faire appel à l'infini avec la droite réelle achevée.

Approche élémentaire des fonctions Liste de fonctions numériques Glossaire des fonctions Vocabulaire élémentaire fonction – expression – variable – valeur – ensemble de départ – ensemble d'arrivée – graphe – domaine de définition – image – antécédent – préimage – restriction – composition – réciproque Représentation graphique d'une fonction Étude de fonction domaine de définition – périodicité – parité – continuité – dérivabilité – dérivée (seconde) – variations – extremum – zéros – signe – limites – comparaison asymptotique Courbe représentative tangentes – asymptotes – branches paraboliques – concavité – points d'inflexion – position relative – quadrant – pente Dérivation règle du produit – fonctions composées – dérivation itérée (formule de Faà di Bruno) – théorème de Glaeser Calcul de limites opérations (forme indéterminée) – composition – théorème des gendarmes – théorème de la limite monotone – développement asymptotique (équivalent – négligeable) – règle de L'Hôpital Intégration primitive – intégrabilité – intégrale – théorème fondamental de l'analyse – intégration par parties – changement de variables (règles de Bioche) Corollaires de la propriété de la borne supérieure théorème des valeurs intermédiaires – de la bijection – de la moyenne théorème des bornes – théorème de Rolle – théorème des accroissements finis – théorème de Darboux – théorème de la moyenne de Cauchy Approximation locale approximation linéaire – théorème de Taylor – développement limité Régularité (par morceaux) Lipschitz – condition de Hölder – absolue continuité – continuité uniforme – variation bornée – semi-continuité Équations différentielles ordinaires Types d'équations différentielles ordinaires autonome – linéaire (d'ordre 1 – d'ordre 2) – d'ordre 1 à variables séparées Exemples équation différentielle de Bernoulli – Clairaut – Euler – Lagrange – Liénard – Mathieu – Newton – Riccati – Sturm-Liouville – Verhulst Résolution condition initiale – problème de Cauchy – théorème de Cauchy-Lipschitz méthode d'Euler – variation des constantes – quadrature – transformée de Laplace – wronskien

Suites numériques Vocabulaire élémentaire suite – terme – rang – sous-suite – relation de récurrence – raison Exemples arithmétiques – géométriques – arithmético-géométriques – récurrentes linéaires (Fibonacci – Tribonacci – Perrin – Padovan – Pell – Lucas) – logistiques Propriétés suites adjacentes (moyenne arithmético-géométrique) – équivalentes (formule de Stirling) suite bornée – suite de Cauchy – suite périodique Convergence limite – limites inférieure et supérieure – lemme de Cesàro – théorème de Stolz-Cesàro – lemme de l'escalier valeur d'adhérence – théorème de Bolzano-Weierstrass Applications développement décimal – fraction continue – produit infini – produit infini de Cantor Vitesse de convergence convergence linéaire – convergence quadratique Séries numériques Exemples séries géométriques – harmonique – série des inverses des nombres premiers – séries de Riemann – Bertrand – Grandi – série alternée des entiers série double Propriétés série alternée (critère de convergence) – série télescopique Convergence convergence absolue – convergence inconditionnelle règle de Cauchy – règle de d'Alembert – règle de Raabe-Duhamel Autres résultats inégalité de Carleman – théorème de réarrangement de Riemann – lemme de Kronecker Méthodes de calcul produit de Cauchy – sommation par parties – sommation de Borel Applications série d'Eisenstein – Engel – Lambert – zêta rationnelle