Sommation par parties

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 Ne doit pas être confondu avec la méthode de sommation d'Abel

La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient deux suites et . Pour tous entiers naturels et , on définit

On a alors la relation suivante

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de .

Similitude avec l'intégration par parties[modifier | modifier le code]

La formule d'intégration par parties s'écrit :

Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( devient ) et à dériver l'autre ( devient ).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( devient ) et l'autre est différenciée ( devient ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications[modifier | modifier le code]

Si la suite tend vers 0 et la suite est bornée, et si est une série absolument convergente, alors la série est convergente. En effet,

cette dernière série étant absolument convergente.

On en déduit de plus l'inégalité :

M désigne un majorant des |Bn|.

Exemples[modifier | modifier le code]

  1. et
    et
    On sait que la série converge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
    converge.
    NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.
  2. et
    (Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
    Comme précédemment converge absolument, et est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
    Par conséquent converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Article d'Abel de 1826 (où figure la sommation par parties), en ligne et commenté sur Bibnum