Sommation par parties

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Ne doit pas être confondu avec la méthode de sommation d'Abel

La sommation par parties est aux séries ce que l'intégration par parties est aux fonctions. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient deux suites et . Pour tous entiers naturels et , on définit

Alors[1] :

.

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de .

Similitude avec l'intégration par parties[modifier | modifier le code]

La formule d'intégration par parties s'écrit :

Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( devient ) et à dériver l'autre ( devient ).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( devient ) et l'autre est différenciée ( devient ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications[modifier | modifier le code]

Critère d'Abel[1], dit aussi règle d'Abel ou théorème d'Abel[2] — Si la suite tend vers 0 et la suite est bornée, et si la série est absolument convergente, alors la série est convergente.

La preuve montre de plus l'inégalité :

,

pour tout majorant M des |Bn|.

Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »[3] :

Si la suite est monotone et de limite nulle et si la suite est bornée, alors la série est convergente.

Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si est décroissante et de limite nulle, alors la série est convergente.

Exemples[modifier | modifier le code]

  1. La suite est monotone et de limite nulle et la série a ses sommes partielles bornées car [4] donc (d'après le test de Dirichlet) la série converge.
  2. De même[5], pour tout nombre complexe de module , la série du logarithme complexe converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Pour une démonstration, voir par exemple la section « Critère d'Abel » dans le cours de Wikiversité sur les séries.
  2. À ne pas confondre avec d'autres théorèmes du même nom Ce lien renvoie vers une page d'homonymie.
  3. « Théorème d'Abel », Université en ligne.
  4. Pour un calcul de pour tout réel , voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  5. Voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Article connexe[modifier | modifier le code]

Formule sommatoire d'Abel

Lien externe[modifier | modifier le code]

Article de Niels Henrik Abel de 1826 (où figure la sommation par parties), en ligne et commenté sur Bibnum