Sommation par parties

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En mathématiques, la formule de sommation par parties (parfois appelée transformation d'Abel ou sommation d'Abel) permet de transformer une somme d'un produit de suites finies en d'autres sommes, simplifiant souvent le calcul et permettant l'estimation de certains types de sommes. C'est un analogue discret de l'intégration par parties.

Elle est à la base du critère d'Abel permettant d'obtenir la semi-convergence de certaines séries.

Énoncé et démonstration[modifier | modifier le code]

Si et sont des suites numériques, la formule de sommation par parties s'écrit :

En effet, d'une part par télescopage,

et d'autre part :

Exemple d’application directe[modifier | modifier le code]

Le calcul , permet d'écrire :

Similitude avec l'intégration par parties[modifier | modifier le code]

La formule d'intégration par parties s'écrit :

Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale ( devient ) et à dériver l'autre ( devient ).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée ( devient ) et l'autre est différenciée ( devient ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Reformulation conduisant au critère d'Abel[modifier | modifier le code]

Reformulation[modifier | modifier le code]

Soient deux suites et . Notons, pour tout entier naturel

les sommes partielles des séries de termes généraux et .

Alors[1],[2]  :

.

Inégalité d'Abel[modifier | modifier le code]

On en déduit l'inégalité d'Abel[2]: si la suite est décroissante positive, alors

,

est un minorant des , et un majorant.

En effet, , donc et de même pour l'autre inégalité.

Critère d'Abel[modifier | modifier le code]

Le théorème suivant est une conséquence directe de la formule précédente.

Théorème — Si la suite tend vers 0 et la suite est bornée, et si la série est absolument convergente, alors la série est convergente.

La démonstration montre de plus l'inégalité :

,

pour tout majorant des .

Test de Dirichlet[modifier | modifier le code]

Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »[3] :

Si la suite est monotone et de limite nulle et si la suite est bornée, alors la série est convergente.

Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si est décroissante et de limite nulle, alors la série est convergente.

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

  1. La suite est monotone et de limite nulle et la série a ses sommes partielles bornées car [4] donc d'après le test de Dirichlet, la série converge.
  2. De même[5], pour tout nombre complexe de module 1, la série du logarithme complexe converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration, voir par exemple la section « Critère d'Abel » dans le cours de Wikiversité sur les séries.
  2. a et b Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse, Ellipses, , p. 375
  3. « Théorème d'Abel », Université en ligne.
  4. Pour un calcul de pour tout réel , voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  5. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Article connexe[modifier | modifier le code]

Formule sommatoire d'Abel

Lien externe[modifier | modifier le code]

Article de Niels Henrik Abel de 1826 (où figure la sommation par parties), en ligne et commenté sur Bibnum