Modèle de Verhulst

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En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé par Pierre François Verhulst vers 1840[1]. Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population.

Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsque les populations sont de petites tailles, elles ont tendance à croître.

Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peuvent encore être touchés.

Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique.

Mise en place mathématique[modifier | modifier le code]

Si on appelle

  • y la taille de la population
  • m(y) le taux de mortalité
  • n(y) le taux de natalité

la taille de la population suit l'équation différentielle

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}= y\left(n(y) - m(y)\right)

Si m et n sont des fonctions affines respectivement croissante et décroissante alors n - m est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour y tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=y(a-by) avec a et b deux réels positifs

Puis, en posant K=a/b, l'équation devient alors:

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=ay\left(1-\frac yK\right)\quad\text{avec}\quad a,K > 0.

Une observation immédiate montre que

  • la fonction constante K est solution de cette équation
  • si y < K alors la population croît
  • si y > K alors la population décroît.

Le paramètre K est appelé la capacité d'accueil.

Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée et à la population restante)

\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\alpha y (K- y) = \alpha Ky\left(1-\frac yK\right)

Résolution en temps continu[modifier | modifier le code]

Article détaillé : fonction logistique (Verhulst).

La recherche des fonctions strictement positives définies sur [0; + \infty[ et vérifiant le système

  • y(0)=y_0~
  • y' = ay\left(1-\frac yK\right)

conduit à la solution logistique

y(t)=K\frac1{1+\left(\frac K{y_0}-1\right)e^{-at}}

où l'on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population initiale est inférieure à la population d'accueil et décroissante sinon.

Résolution en temps discret[modifier | modifier le code]

Article détaillé : suite logistique.

En temps discret, le modèle se transforme en

 u_{n+1} - u_n = au_n\left(1-\frac{u_n}{K}\right)

Puis, en posant

  • a+1=\mu
  • v_n = \frac{au_n}{\mu K}

la relation de récurrence devient

 v_{n+1}=\mu v_n (1 - v_n)\,

C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme suite logistique. Cette suite, bien que très simple par son expression, peut conduire à des résultats très variés ; son comportement varie suivant les valeurs de μ :

  • pour μ compris entre 1 et 3, c'est-à-dire a compris entre 0 et 2, la suite (v_n) converge vers \frac {\mu - 1}{\mu} et l'on retrouve bien une suite (u_n) convergeant vers K
  • pour μ supérieur à 3, la suite (v_n) peut, selon les valeurs de μ, osciller entre 2, 4, 8, 16… valeurs ou bien être chaotique.

Note et sources[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. On trouve selon les sources 1838 dans [1], 1844 dans [2], 1846 dans (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Pierre François Verhulst », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..

Sources[modifier | modifier le code]

  • Pierre-François Verhulst, « Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement », Correspondance mathématique et physique, no 10,‎ 1838, p. 113-121 (lire en ligne)
  • Pierre-François Verhulst, « Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population », Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, no 18,‎ 1845, p. 1-42 (lire en ligne)
  • Pierre-François Verhulst, « Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la population », Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, no 20,‎ 1847, p. 1-32 (lire en ligne)
  • Nicolas Bacaër, Histoires de mathématiques et de populations, Éditions Cassini, coll. « Le sel et le fer »,‎ 2008, 212 p. (ISBN 9782842251017), « Verhulst et l'équation logistique »

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]