Modèle de Verhulst

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En dynamique des populations, le modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé par Pierre François Verhulst vers 1840[1],[2]. Verhulst a proposé ce modèle en réponse au modèle de Malthus qui proposait un taux d'accroissement constant sans frein conduisant à une croissance exponentielle de la population.

Le modèle de Verhulst imagine que le taux de natalité et le taux de mortalité sont des fonctions affines respectivement décroissante et croissante de la taille de la population. Autrement dit, plus la taille de la population augmente, plus son taux de natalité diminue et son taux de mortalité augmente. Verhulst pose d'autre part que, lorsque les populations sont de petites tailles, elles ont tendance à croître.

Le même modèle est utilisable pour des réactions autocatalytiques, dans lesquelles l'augmentation des individus touchés est proportionnelle à la fois au nombre d'individus déjà touchés et au nombre d'individus qui peuvent encore être touchés.

Ce modèle conduit, en temps continu, à une fonction logistique et en temps discret à une suite logistique dont la particularité est d'être, dans certaines circonstances, chaotique.

Mise en place mathématique[modifier | modifier le code]

Si on appelle :

  • y la taille de la population ;
  • m(y) le taux de mortalité ;
  • n(y) le taux de natalité,

alors, en s'inspirant du modèle de Malthus, la taille de la population suit l'équation différentielle

Si m et n sont des fonctions affines respectivement croissante et décroissante alors n – m est une fonction affine décroissante. Si d'autre part, pour y tendant vers 0, la croissance est positive, l'équation peut s'écrire

avec a et b deux réels positifs

C'est le modèle proposé par Verhulst[3].

Puis, en posant K = a/b, l'équation devient alors :

Une observation immédiate montre que :

  • la fonction constante y = K est solution de cette équation ;
  • si y < K alors la population croît ;
  • si y > K alors la population décroît.

Le paramètre K est appelé la capacité d'accueil ou capacité de charge.

Le modèle auto-catalytique conduit à la même équation (accroissement proportionnel à la population touchée et à la population restante)

Résolution en temps continu[modifier | modifier le code]

La recherche des fonctions strictement positives définies sur et vérifiant le système

conduit à la solution logistique

où l'on observe que la population tend vers la capacité d'accueil K, qu'elle est croissante si la population initiale est inférieure à la population d'accueil et décroissante sinon.

Résolution en temps discret[modifier | modifier le code]

En temps discret, le modèle se transforme en

Puis, en posant

la relation de récurrence devient

C'est sous cette forme qu'elle est étudiée comme suite logistique. Cette suite, bien que très simple par son expression, peut conduire à des résultats très variés ; son comportement varie suivant les valeurs de μ :

  • pour μ < 1 (soit < 0), la population décroît et s'éteint
  • pour µ = 1 (soit = 0), la population est constante
  • pour μ compris entre 1 et 3, c'est-à-dire compris entre 0 et 2, la suite converge vers et l'on retrouve bien une suite convergeant vers K
  • pour μ supérieur à 3, la suite peut, selon les valeurs de μ, osciller entre 2, 4, 8, 16… valeurs ou bien être chaotique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cf. notamment Martial Schtickzelle, « Pierre-François Verhulst (1804-1849). La première découverte de la fonction logistique », Population, Institut National d'Etudes Démographiques, vol. 36, no 3,‎ , p. 541-556 (DOI 10.2307/1532620, lire en ligne).
  2. On trouve selon les sources 1838 dans [1], 1844 dans [2], 1846 dans (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Pierre François Verhulst », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..
  3. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement (lire en ligne), p. 115-116
    Note historique (pages 115 et 116) : Pierre François Verhulst avait supposé au départ une croissance proportionnelle à la taille de la population (de type mp) freinée par une fonction croissante de p. Il a essayé plusieurs modèles, où le frein est une puissance de la population (de type npα) ou une fonction en log p, et prend finalement la valeur la plus simple np², par analogie à la force de frottement que subirait un système évoluant dans un milieu résistant (à vitesse élevée, voir Frottement fluide).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Mathématiques en dynamiques des populations de Christelle Magal

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Nicolas Bacaër, Histoires de mathématiques et de populations, Éditions Cassini, coll. « Le sel et le fer », , 212 p. (ISBN 9782842251017), « Verhulst et l'équation logistique »
  • Bernard Delmas, « Pierre-François Verhulst et la loi logistique de la population », Mathematics and Social Sciences, vol. 167,‎ (lire en ligne)
  • Pierre-François Verhulst, « Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement », Correspondance mathématique et physique, no 10,‎ , p. 113-121 (lire en ligne)
  • Pierre-François Verhulst, « Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population », Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, no 18,‎ , p. 1-42 (lire en ligne)
  • Pierre-François Verhulst, « Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la population », Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, no 20,‎ , p. 1-32 (lire en ligne)