Règles de Bioche

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, les règles de Bioche sont des règles de changement de variable dans le calcul d'intégrales comportant des fonctions trigonométriques.

Les règles et leur justification[modifier | modifier le code]

Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu'il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, est une expression rationnelle en et , c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de , , des nombres réels et les quatre opérations  ; on peut encore écrire , où P et Q sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.

Ainsi, pour calculer

,

on forme l'intégrande : . Ensuite,

  • si , un changement de variable judicieux est  ;
  • si , un changement de variable judicieux est  ;
  • si , un changement de variable judicieux est  ;
  • si deux des trois relations précédentes sont vraies (dans ce cas les trois relations sont vraies), un changement de variable judicieux est  ;
  • dans les autres cas, le changement de variable s'avère souvent judicieux (voir « Formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié »).

Pour des exemples d'utilisation, voir le chapitre correspondant sur Wikiversité dans la leçon « Changement de variable en calcul intégral » et les exercices corrigés de cette leçon.

D'un point de vue mnémotechnique, ces règles sont peut-être plus simples à retenir sous cette forme, mais on les trouve souvent exposées plutôt par rapport à f, ce qui donne respectivement pour les deux premières (en tenant compte du fait que d(–t) = d(π – t) = –dt) : « si f est impaire, utiliser x = cos t » et « si f est telle que f(π – t) = –f(t), utiliser x = sin t ».

Ces règles peuvent en fait être énoncées comme un théorème : on démontre[réf. souhaitée] que le changement de variable proposé conduit (si la règle s'applique et si f est bien de la forme ) à l'intégration d'une fraction rationnelle en t, qui se calcule aisément par décomposition en éléments simples.

Cas des polynômes[modifier | modifier le code]

Pour calculer l'intégrale , la règle de Bioche s'applique également.

  • Si p et q sont impairs, on emploie  ;
  • Si p est impair et q pair, on emploie  ;
  • Si p est pair et q impair, on emploie  ;
  • Sinon, on en est réduit à linéariser.

Autre version : fonctions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Soit à calculer

.

Si les règles de Bioche suggèrent de calculer

par (resp. , , , ), un changement de variable judicieux pour la première intégrale est (resp. , , , ). Dans tous les cas, le changement de variable permet de se ramener à une primitive de fraction rationnelle, ce dernier changement de variable étant plus intéressant dans le quatrième cas ().

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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