Règles de Bioche

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, les règles de Bioche sont des règles de changement de variable dans le calcul d'intégrales comportant des fonctions trigonométriques.

Les règles et leur justification[modifier | modifier le code]

Ces règles ont été formulées par Charles Bioche lorsqu'il était professeur en mathématiques spéciales au lycée Louis-le-Grand. Dans la suite, est une expression rationnelle en et , c'est-à-dire une expression obtenue à l'aide de , , des nombres réels et les quatre opérations  ; on peut encore écrire , où P et Q sont des polynômes à deux variables, à coefficients réels.

Ainsi, pour calculer

,

on forme l'intégrande : . Ensuite,

  • si , un changement de variable judicieux est  ;
  • si , un changement de variable judicieux est  ;
  • si , un changement de variable judicieux est  ;
  • si deux des trois relations précédentes sont vraies (dans ce cas les trois relations sont vraies), un changement de variable judicieux est  ;
  • dans les autres cas, le changement de variable s'avère souvent judicieux (voir « Formules trigonométriques impliquant la tangente de l'arc moitié »).

D'un point de vue mnémotechnique, ces règles sont peut-être plus simples à retenir sous cette forme, mais on les trouve souvent exposées plutôt par rapport à f, ce qui donne respectivement pour les deux premières (en tenant compte du fait que d(–t) = d(π – t) = –dt) : « si f est impaire, utiliser x = cos t » et « si f est telle que f(π – t) = –f(t), utiliser x = sin t ».

Ces règles peuvent en fait être énoncées comme un théorème : on démontre[réf. souhaitée] que le changement de variable proposé conduit (si la règle s'applique et si f est bien de la forme ) à l'intégration d'une fraction rationnelle en t, qui se calcule aisément par décomposition en éléments simples.

Exemples d’utilisation[modifier | modifier le code]

  • Soit l'intégrale
    Ceci car et est impaire et paire.
    Alors d'après la règle de Bioche, le meilleur changement de variable est .
  • Soit l'intégrale
    Ceci car et et
    Alors d'après la règle de Bioche, le changement de variable le plus approprié est
    Une fois le changement de variable effectué, ces deux intégrales peuvent être calculées plus facilement car elles comportent des fonctions que l'on sait intégrer.
  • Soit l'intégrale Aucune des trois règles de Bioche ne s'applique. Dans cette situation on peut utiliser, comme indiqué ci-dessus, le changement de variable u = tan(t/2), qui donne ici

Cas des polynômes[modifier | modifier le code]

Pour calculer l'intégrale , la règle de Bioche s'applique également.

  • Si p et q sont impairs, on emploie  ;
  • Si p est impair et q pair, on emploie  ;
  • Si p est pair et q impair, on emploie  ;
  • Sinon, on en est réduit à linéariser.

Autre version : fonctions hyperboliques[modifier | modifier le code]

Soit à calculer

.

Si les règles de Bioche suggèrent de calculer

par (resp. , , , ) un changement de variable judicieux pour la première intégrale est (resp. , , , ). Dans tous les cas, le changement de variable permet de se ramener à une primitive de fraction rationnelle, ce dernier changement de variable étant plus intéressant dans le quatrième cas ().

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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