Théorème des gendarmes

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Deux fonctions f et h qui admettent la même limite L au point a et une fonction g prise en « étau » entre f et h dans le voisinage de a. Selon le théorème du sandwich, g admet L comme limite en a.

En analyse, le théorème des gendarmes (également appelé théorème d'encadrement, théorème du pincement, théorème de l'étau ou théorème du sandwich) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions (f et h) admettent la même limite en un point (a) et qu'une troisième fonction (g) est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre f et h dans le voisinage de a, alors g admet en a une limite, égale à la limite commune de f et h.

Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient :

Si et si , alors [1].

Origine du nom[modifier | modifier le code]

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Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions f et h à des gendarmes et g à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie L. En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich »…

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant .
  • Si et , les hypothèses du théorème sont satisfaites pour , en posant .
  • L'ensemble A peut être un intervalle réel et le point a un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non)[2].
  • On peut aussi appliquer le théorème avec ou et  : si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > Navec réel ou infini.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour des fonctions à valeurs dans ℝ — mais la démonstration est identique pour des fonctions à valeurs dans — le théorème est énoncé sous cette forme générale et démontré par E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, , p. 40, ainsi que — pour le cas particulier E = et A ⊂ ℝ, mais la démonstration s'adapte sans problème à un espace topologique quelconque — dans Frédéric Denizet, Analyse - MPSI, Nathan, coll. « Classe prépa », (lire en ligne), p. 201 et dans « Limites et relation d'ordre » sur la Wikiversité.
  2. On démontre ainsi que . Cet exemple est détaillé sur la Wikiversité.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème du sandwich (variante)