Série de Riemann

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 Ne doit pas être confondu avec Somme de Riemann.

Pour α un nombre complexe, on appelle série de Riemann la série suivante : .

La série harmonique en est un cas particulier, pour α = 1 :

Convergence[modifier | modifier le code]

La série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1.

En effet :

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul :

, où est un nombre rationnel (voir Nombre de Bernoulli).

Par exemple

En revanche on ne sait rien concernant les valeurs prises pour α entier impair, hormis que pour α = 3, la somme est irrationnelle (démontré par Roger Apéry en 1978).

Fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta de Riemann ζ est définie sur le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1 par la série convergente :

Il s'agit d'une fonction holomorphe sur ce demi-plan.

Généralisations[modifier | modifier le code]

  • Les séries de Bertrand, de la forme
  • Les séries de Dirichlet, de la forme
  • Les séries de Riemann multiples, de la forme Il y a convergence absolue si et seulement si Re(α) > k.

Voir aussi[modifier | modifier le code]