Théorème de Bolzano-Weierstrass

En mathématiques, et plus précisément en analyse réelle, le théorème de Bolzano-Weierstrass, nommé d'après les mathématiciens Bernard Bolzano et Karl Weierstrass, énonce

Toute suite réelle bornée contient une sous-suite convergente.

ce qui peut se reformuler en termes de valeurs d'adhérence :

Toute suite réelle bornée a au moins une valeur d'adhérence.

Le théorème s'exprime également sous une forme plus topologique :

Toute partie fermée bornée de $\mathbb {R}$ est séquentiellement compacte.

Enfin, on peut généraliser le théorème à $\mathbb {R} ^{n}$ , ou encore à tout espace vectoriel normé de dimension finie sur $\mathbb {R}$ .

Démonstration (cas réel)[modifier | modifier le code]

Il existe au moins deux démonstrations usuelles de ce théorème.

La première fait appel à l'extraction d'une suite monotone. Considérons une suite réelle bornée. Elle admet une sous-suite monotone (cf. propriétés des sous-suites), qui est également bornée. Par le théorème de la limite monotone, cette sous-suite converge.

La seconde preuve s'appuie sur une dichotomie^[1]^,^[2]^,^[3]. Soit $(u_{n})$ une suite réelle bornée. Soit un minorant $m$ et un majorant $M$ de $(u_{n})$ . On pose $m_{0}=m,M_{0}=M$ . Notons $d_{0}=(m_{0}+M_{0})/2$ le milieu de l'intervalle $[m_{0},M_{0}]$ . Tous les termes de $(u_{n})$ sont dans $[m_{0},M_{0}]$ , et il y en a une infinité, donc il y en a une infinité dans au moins l'un des deux intervalles $[m_{0},d_{0}]$ et $[d_{0},M_{0}]$ . Itérons le processus : posons $m_{1}=m_{0},M_{1}=d_{0}$ ou $m_{1}=d_{0},M_{1}=M_{0}$ de sorte qu'il y ait une infinité de termes de $(u_{n})$ dans $[m_{1},M_{1}]$ , et posons $d_{1}=(m_{1}+M_{1})/2$ le milieu de $[m_{1},M_{1}]$ . À nouveau, il y a une infinité de termes de $(u_{n})$ dans $[m_{1},d_{1}]$ ou dans $[d_{1},M_{1}]$ , et on peut continuer infiniment. Les suites $(m_{n})$ et $(M_{n})$ sont adjacentes car $(m_{n})$ est croissante, $(M_{n})$ est décroissante et l'écart entre les deux est divisé par 2 à chaque étape. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers une limite commune $l$ . On pose $\varphi (0)=0$ , et pour tout $n$ , on choisit $\varphi (n+1)$ comme le plus petit entier strictement supérieur à $\varphi (n)$ tel que $u_{\varphi (n+1)}$ appartienne à $[m_{n+1},M_{n+1}]$ , ce qui est possible car une infinité de termes de $(u_{n})$ appartiennent à $[m_{n+1},M_{n+1}]$ . Alors, par le théorème des gendarmes, la suite $(u_{\varphi (n)})$ extraite de $(u_{n})$ tend vers $l$ .

Généralisation aux $\mathbb {R}$ -espaces vectoriels normés de dimension finie[modifier | modifier le code]

Le théorème s'applique toujours en remplaçant $\mathbb {R}$ par un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel normé de dimension finie. En particulier, il est vrai dans $\mathbb {C}$ muni du module complexe.

Cette généralisation peut se prouver à partir du cas réel. Soit un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel normé de dimension finie $d$ , assimilé sans perte de généralité à $\mathbb {R} ^{d}$ muni d'une norme $\lVert \cdot \rVert$ , et soit une suite bornée de vecteurs. On remarque que la suite des premières coordonnées est bornée. En appliquant le théorème dans le cas réel, on extrait une sous-suite de vecteurs telle que les premières coordonnées convergent. On extrait alors de cette sous-suite une sous-sous-suite qui fait converger les deuxièmes coordonnées des vecteurs, et ainsi de suite jusqu'aux $d$ -ièmes coordonnées. La sous-suite ainsi obtenue converge dans $\mathbb {R} ^{d}$ .

Lien avec la compacité[modifier | modifier le code]

Une généralisation du théorème affirme qu'un espace métrisable $X$ est compact (au sens de l'axiome de Borel-Lebesgue) si (et seulement si) toute suite d'éléments de $X$ admet une valeur d'adhérence dans $X$ ou, de manière équivalente, admet une sous-suite qui converge vers un élément de $X$ .

Cet énoncé peut se décomposer en :

Deux scholies qui garantissent le « seulement si » :
- Dans un espace (non nécessairement métrisable) compact ou même seulement dénombrablement compact, toute suite admet une valeur d'adhérence :voir l'article « Espace dénombrablement compact ».
- Dans tout espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages, les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses sous-suites convergentes :voir l'article « Valeur d'adhérence ».
L'énoncé proprement dit, le « si » :

Tout espace métrisable séquentiellement compact est compact.

(Un espace séquentiellement compact est un espace dans lequel toute suite admet une sous-suite convergente.)

Démonstration

Tout espace métrique $X$ séquentiellement compact est évidemment précompact, c'est-à-dire que toute suite dans $X$ admet une sous-suite de Cauchy ou, ce qui est équivalent : pour tout r > 0, $X$ est recouvert par un nombre fini de boules de rayon r.

Pour en déduire qu'il est compact, il suffit d'utiliser les liens généraux entre diverses notions de compacité : puisque $X$ est précompact, il est séparable donc à base dénombrable donc de Lindelöf, c'est-à-dire que tout recouvrement ouvert $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ de $X$ admet un sous-recouvrement dénombrable $\left(V_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ . Puis, en utilisant à nouveau la compacité séquentielle, $\left(V_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ a un sous-recouvrement fini (sinon, on pourrait choisir, pour tout n, un point $x_{n}\notin \cup _{k<n}V_{k}$ , et la suite $(x_{n})$ n'aurait pas de valeur d'adhérence).

Une autre approche, plus spécifique, est d'utiliser le fait que pour tout recouvrement ouvert $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ d'un espace métrique séquentiellement compact $X$ , il existe au moins un nombre de Lebesgue, c'est-à-dire un réel $r > 0$ tel que toute boule ouverte de $X$ de rayon $r$ soit incluse dans au moins l'un des ouverts du recouvrement. Formellement :

\exists r\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad \forall x\in X\quad \exists i(x)\in I\quad B\left(x,r\right)\subset U_{i(x)}

.

Soit alors $X$ un espace métrique séquentiellement compact, prouvons qu'il est compact^[4]. Soit $\left(U_{i}\right)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$ et soit $r$ un nombre de Lebesgue pour ce recouvrement. Par précompacité, il existe une partie finie $Y$ de $X$ telle que $X=\bigcup _{x\in Y}B\left(x,r\right)$ . On en déduit alors que la sous-famille finie $\left(U_{i\left(x\right)}\right)_{x\in Y}$ recouvre $X$ .

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ D. Guinin et B. Joppin, Analyse MPSI, Bréal, 2003 (lire en ligne), p. 126-127.
↑ F. Denizet, Analyse MPSI, Nathan, 2008 (lire en ligne), p. 108.
↑ Démonstration de cette version faible du théorème de Bolzano-Weierstrass sur Wikiversité.
↑ Pour une variante, voir (en) Jacques Dixmier (trad. du français), General Topology [« Topologie générale »], Springer, 1984 (lire en ligne), p. 52.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Espaces métriques compacts, sur Wikiversity

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lemme de Cousin

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Georges Skandalis, Topologie et analyse 3^e année, Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001
Claude Wagschal, Topologie et analyse fonctionnelle, Hermann, coll. « Méthodes », 1995

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[1] D. Guinin et B. Joppin, Analyse MPSI, Bréal, 2003 (lire en ligne), p. 126-127.

[2] F. Denizet, Analyse MPSI, Nathan, 2008 (lire en ligne), p. 108.

[3] Démonstration de cette version faible du théorème de Bolzano-Weierstrass sur Wikiversité.

[4] Pour une variante, voir (en) Jacques Dixmier (trad. du français), General Topology [« Topologie générale »], Springer, 1984 (lire en ligne), p. 52.

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