Formule de Faà di Bruno

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la formule de Faà di Bruno est une identité généralisant la règle de dérivation des fonctions composées au cas des dérivées d'ordre supérieur. Elle a été souvent attribuée au mathématicien italien Francesco Faà di Bruno, en 1855[1], mais on en connait des mentions plus anciennes[2],[3], la première étant sans doute due, en 1800, à Louis François Antoine Arbogast[4].

La formule de dérivation de Faà di Bruno[modifier | modifier le code]

La forme la plus connue de cette formule est sans doute

où la somme parcourt tous les n-uplets (m1, ..., mn) vérifiant la contrainte :

Pour pouvoir la retenir plus facilement, on l'énonce parfois

mais sous cette forme, l'interprétation combinatoire des coefficients discutée plus bas est plus difficile à percevoir.

Combinant les termes correspondants à la même valeur de m1 + m2 + ... + mn = k et remarquant que mj doit être nul pour j > nk + 1, on arrive à une autre formule un peu plus simple, exprimée en fonction des polynômes de Bell Bn,k(x1,...,xnk+1) :

Forme combinatoire[modifier | modifier le code]

La formule peut s'écrire sous la forme « combinatoire » suivante :

  • « B ∈ π » signifie que la variable B parcourt la liste de tous les blocs de la partition π, et
  • |A| désigne le cardinal de l'ensemble A (et donc |π| est le nombre de blocs de la partition π, et |B| est la taille du bloc B).

Explication sur un exemple[modifier | modifier le code]

La forme combinatoire peut sembler inutilisable au premier abord, aussi nous allons montrer sur un cas concret à quoi elle ressemble :

Quelle est la règle ?

Le facteur , par exemple, correspond à la partition 2 + 1 + 1 de l'entier 4 (puisque nous cherchons la dérivée d'ordre 4), et le facteur qui l'accompagne venant de ce qu'il y a trois termes dans cette partition ; enfin, le coefficient 6 résulte de ce qu'il y a exactement 6 partitions d'un ensemble à 4 éléments de la forme « une paire et deux singletons ».

La combinatoire des coefficients de la formule[modifier | modifier le code]

Les coefficients de Faà di Bruno correspondant à ces comptes de partitions ont une forme explicite ; en effet, le nombre de partitions d'un entier n correspondant à la somme (la partition entière)

est égal à

Ces coefficients apparaissent aussi dans les polynômes de Bell, utilisés dans l'étude des cumulants.

Deux cas particuliers[modifier | modifier le code]

Si f(x) = ex, alors toutes les dérivées de f sont les mêmes, et sont facteurs communs de tous les termes de la formule. Quand g(x) est une fonction génératrice de cumulants, f(g(x)) est une fonction génératrice de moments, et le polynôme en les dérivées de g est le polynôme exprimant les moments en fonction des cumulants. Prenant , on retrouve aussi de cette manière les polynômes d'Hermite.

Si f(x) = 1/x, on a  ; on en déduit[5] la formule suivante pour la dérivée n-ième de 1/g :

est tel que : .

Une version à plusieurs variables[modifier | modifier le code]

Soit y = g(x1, ..., xn). Alors l'identité suivante est vraie, que les n variables soient distinctes, ou identiques, ou partitionnées en classes de variables indiscernables (l'exemple concret ci-dessous devrait rendre cela clair) :

[6],

où, comme précédemment, π parcourt l'ensemble Π de toutes les partitions de { 1, ..., n }, B ∈ π signifie que B parcourt les blocs de la partition π, et |A| est le cardinal de l'ensemble A. Une généralisation supplémentaire, correspondant au cas où Y est une variable vectorielle, est due à Tsoy-Wo Ma[7].

Exemple[modifier | modifier le code]

Les cinq termes de l'expression suivante correspondent aux cinq partitions de l'ensemble { 1, 2, 3 }, et dans chaque cas l'ordre de la dérivée de f est le nombre de sous-ensembles de la partition :

Si les trois variables sont identiques, les trois termes facteurs de f"(y) le sont aussi, et l'on retrouve alors la formule classique à une seule variable.

Une version concernant les séries formelles[modifier | modifier le code]

Si alors le coefficient cn (qui est la dérivée formelle n-ième en 0 de la série formelle h) est donné par : (avec les mêmes conventions que précédemment : π parcourt l'ensemble des partitions de l'ensemble { 1, ..., n }, B1, ..., Bk sont les blocs de la partition π, et | Bj | est le nombre d'éléments du j-ème bloc, pour j = 1, ..., k).

Cette version de la formule est particulièrement bien adaptée aux méthodes de l'analyse combinatoire[8].

Elle se réécrit : où les Bn,k(a1,...,ank+1) sont des polynômes de Bell.

Par exemple, pour tout entier ℓ ≥ 1 : ou encore :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Faà di Bruno's formula » (voir la liste des auteurs).

  1. (it) Faà di Bruno, « Sullo sviluppo delle funzioni », Annali di scienze matematiche e fisiche, vol. 6,‎ , p. 479 (lire en ligne).
  2. (en) Alex D. D. Craik, « Prehistory of Faà di Bruno's formula », Am. Math. Monthly, vol. 112, no 2,‎ , p. 119–130 (JSTOR 30037410).
  3. (en) Warren P. Johnson, « The curious history of Faa di Bruno's formula », Am. Math. Monthly, vol. 109,‎ , p. 217-234 (lire en ligne) (prix Paul R. Halmos-Lester R. Ford 2003).
  4. Louis François Antoine Arbogast, Du calcul des dérivations, Strasbourg, Levrault, (lire en ligne), p. 43.
  5. Feldmann 2013.
  6. (en) Michael Hardy, « Combinatorics of Partial Derivatives », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 13, no 1,‎ , R1 (lire en ligne).
  7. (en) Ma, Tsoy Wo, « Higher Chain Formula proved by Combinatorics », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 16, no 1,‎ , N21 (lire en ligne).
  8. Voir la « formule de composition » dans (en) Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 2, Cambridge, CUP, , 7e éd. (ISBN 978-0-521-55309-4, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 5.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Calcul ombral

Liens externes[modifier | modifier le code]