Nombre de Pell

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En mathématiques, les nombres de Pell et les nombres de Pell compagnon[réf. nécessaire] (ou nombres de Pell-Lucas) constituent les deux suites d'entiers U(2, –1) et V(2, –1), cas particulier de suites de Lucas.

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

Les nombres de Pell Pn et de Pell-Lucas Qn sont définis par la récurrence linéaire suivante :

Autrement dit : on commence par 0 et 1 pour la première suite et par 2 et 2 pour la seconde, et dans chacune des deux suites, on produit le prochain nombre en additionnant deux fois le dernier à l'avant-dernier.

Quelques valeurs[modifier | modifier le code]

Les dix premiers nombres de Pell sont 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 et 985 et les dix premiers nombres de Pell-Lucas sont 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1 154 et 2 786 (pour les 1 000 premiers, voir les suites A000129 et A002203 de l'OEIS).

Les Qn étant tous pairs, c'est parfois plutôt les Qn/2 qu'on appelle nombres de Pell-Lucas[1].

La sous-suite des nombres de Pell premiers est

2, 5, 29, 5 741etc. (pour les 23 premiers termes, voir A086383)

et les indices correspondants (nécessairement premiers) sont

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, etc. (pour les 31 premiers, voir A096650).

Terme général[modifier | modifier le code]

Le terme général de ces deux suites est :

Lien avec la proportion d'argent[modifier | modifier le code]

Les puissances successives de la proportion d'argent 1 + 2 sont donc voisines des nombres de Pell-Lucas quand n est grand. Par exemple :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pell number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Thomas Koshy, Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications, Springer, (ISBN 9781461484899, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]