Suite de Pell

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En mathématiques, la suite de Pell et la suite de Pell-Lucas sont respectivement les suites d'entiers U(2, –1) et V(2, –1), cas particulier de suites de Lucas.

La première est aussi la 2-suite de Fibonacci.

Leurs termes sont dénommés respectivement nombres de Pell et nombres de Pell-Lucas.

Définitions[modifier | modifier le code]

La suite de Pell et la suite de Pell-Lucas sont définies par récurrence linéaire double :

Autrement dit : on commence par 0 et 1 pour la première suite et par 2 et 2 pour la seconde, et dans chacune des deux suites, on produit le terme suivant en additionnant deux fois le dernier à l'avant-dernier.

On peut aussi écrire : et et sont respectivement les polynômes de Fibonacci et de Lucas d'indice .

Quelques valeurs[modifier | modifier le code]

Les dix premiers nombres de Pell sont 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408 et 985 et les dix premiers nombres de Pell-Lucas sont 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1 154 et 2 786 (pour les 1 000 premiers, voir les suites OEISA000129 et OEISA002203 de l'OEIS).

Les étant tous pairs, c'est parfois plutôt les qu'on appelle nombres de Pell-Lucas[1].

La sous-suite des termes premiers de la suite de Pell est formée des nombres

2, 5, 29, 5 741etc. (pour les 23 premiers termes, voir OEISA086383)

et les indices correspondants (nécessairement premiers) sont

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, etc. (pour les 31 premiers, voir OEISA096650).

Terme général[modifier | modifier le code]

Les termes généraux de ces deux suites sont donnés respectivement par les formules  :

Lien avec le nombre d'argent[modifier | modifier le code]

Les puissances successives du nombre d'argent 1 + 2 sont donc voisines des nombres de Pell-Lucas quand est grand. Par exemple :

et pour tout , désigne la partie entière supérieure.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pell number » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Thomas Koshy, Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications, New York, NY, Springer, (ISBN 978-1-4614-8489-9, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]