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Ce glossaire des fonctions rassemble les qualificatifs associés au terme « fonction » en mathématiques.

Sommaire :

Haut – A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z

A

absolument continue : pour laquelle la somme des variations dans l'image est contrôlée par la somme des variations à la source
$\forall \varepsilon ,\exists \delta \colon \ \forall (a_{n}),(b_{n}),\quad \sum _{n\geq 0}{|b_{n}-a_{n}|}<\delta \Rightarrow \sum _{n\geq 0}{|f(a_{n})-f(b_{n})|}<\varepsilon \ .$
additive : (arithmétique) pour laquelle l'image du produit de termes premiers entre eux est la somme des images :
$\forall a,b,\quad a\wedge b=1\Rightarrow f(ab)=f(a)+f(b).$
affine : pour laquelle la différence des images est proportionnelle à la différence à la source :
$\exists k\colon \forall x,y,\quad f(y)-f(x)=k(y-x).$
algébrique : qui est solution d'une équation polynomiale à coefficients polynomiaux en la variable.
Voir aussi transcendante.
analytique : développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition.
arithmétique : dont la variable parcourt les entiers naturels.

B

bijective : à la fois injective et surjective.
booléenne : dont les valeurs sont des booléens.
bornée : à la fois majorée et minorée.

C

calculable : dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing pour toute entrée.
caractéristique d'un ensemble : qui vaut 1 en tout point de cet ensemble et 0 en dehors.
caractéristique d'une variable aléatoire : définie comme l'espérance de l'exponentielle complexe de la variable aléatoire :
$t\mapsto \mathbb {E} (\exp(itX)\ .$
causale : dont le support est minoré dans l'ensemble des réels :
$\exists a\in \mathbb {R} \colon \ \forall x<a,\quad f(x)=0\ .$
centrale : constante sur chaque classe de conjugaison d'un groupe :
$\forall a,b,\quad f(aba^{-1})=f(a)\ .$
circulaire : trigonométrique telle que sinus, cosinus, tangente et leurs inverses.
complexe : à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes.
composée : obtenue par composition de deux fonctions.
concave : dont l'hypographe est convexe.
constante : admettant une unique valeur sur son domaine de définition.
$\exists C\colon \ \forall x,\quad f(x)=C\ .$
continue : pour laquelle la préimage d'un ouvert est un ouvert.
contractante : lispchitzienne de rapport $k<1$
convergente : admettant une limite finie.
convexe : dont l'épigraphe est convexe.
courbe : booléenne de non-linéarité maximale.
croissante : qui préserve l'ordre des éléments :
$\forall x,y,\quad x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\ .$
cubique : polynomiale de degré 3 :
$x\mapsto ax^{3}+bx^{2}+cx+d\ .$

D

décroissante : qui renverse l'ordre des éléments :
$\forall x,y,\quad x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\ .$
dérivable : dont la dérivée est bien définie.
dérivée : définie par le nombre dérivé de la fonction d'origine en chaque point.
développable en série entière : pouvant s'exprimer comme une série entière convergente au voisinage d'un point :
$\exists (a_{n})\colon \forall x\in D(x_{0};r),\quad f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\ .$
différentiable : admettant une différentielle en chaque point.
divergente : n'admettant pas de limite finie.

E

elliptique : méromorphe doublement périodique sur le plan complexe.
entière : holomorphe définie sur tout le plan complexe.
équivalente : de différence négligeable devant la fonction d'origine.
en escalier : constante par morceaux.
étagée : mesurable d'image finie.
exponentielle : proportionnelle à sa dérivée :
$x\mapsto a^{x}=\exp(x\ln(a))\ .$
extractrice : strictement croissante de l'ensemble des entiers naturels dans lui-même.

F

fermée : pour laquelle l'image de tout fermé est fermée.

G

gaussienne : composée d'un polynôme du second degré de coefficient dominant négatif avec l'exponentielle :
$x\mapsto \exp(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}+c)$
génératrice : série entière dont les coefficients sont les termes de la suite d'origine.

H

harmonique : de laplacien nul :
$\Delta f=0\ .$
hölderienne : dont les variations sont bornées par une puissance de l'écart sur la variable :
$\exists C\colon \forall x,y,\quad d(f(x),f(y))\leq C\ d(x,y)^{a}\ .$
holomorphe : dérivable au sens complexe.
homogène : pour laquelle la multiplication des variables par une même constante induit une multiplication de la valeur par une puissance de cette constante :
$\exists \alpha \colon \ \forall \lambda ,x_{1},\dots ,x_{n},\quad f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\alpha }f(x_{1},\dots ,x_{n})\ .$
homographique : s'exprimant comme un quotient de fonctions affines :
$x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}\ .$
hyperbolique : l'une des fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique ou leur inverse.
hypergéométrique : génératrice associée à une série hypergéométrique.

I

impaire : dont le domaine est symétrique par rapport à l'origine et pour laquelle le changement de signe de la variable change aussi le signe de la valeur :
$\forall x,\quad f(-x)=-f(x)\ .$
indicatrice : qui vaut 1 sur un ensemble fixé et 0 ailleurs.
injective : pour laquelle deux éléments distincts ne peuvent avoir la même image :
$\forall x,y,\quad x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)\ .$
intégrable : dont l'intégrale de la valeur absolue est bien définie et finie :
$\int |f|<+\infty \ .$

L

lacunaire : série entière dont une partie des coefficients sont nuls, entrainant l'absence de prolongement analytique en dehors du disque de convergence.
linéaire : dont la valeur est proportionnelle à la variable :
$x\mapsto ax\ .$
lipschitzienne : dont les variations sont bornées par l'écart de valeurs de la variable :
$\exists C\colon \forall x,y,\quad d(f(x),f(y))\leq C\ d(x,y)\ .$
lisse : infiniment dérivable ou différentiable.
logique : booléenne telle les fonctions NON, ET, OU, OUexclusif…
logistique : composée d'une fonction exponentielle avec une fonction homograhique non affine dont le point singulier est négatif :
$x\mapsto {\frac {a+b\exp(\lambda x)}{c+\exp(\lambda x)}}\ .$
lorentzienne : inverse d'une fonction du second degré sans racine réelle :
$x\mapsto {\frac {\Gamma }{2\pi }}{\frac {1}{\left({\frac {1}{2}}\Gamma \right)^{2}+(x-x_{0})^{2}}}$

M

majorée : dont toutes les valeurs sont inférieures à un élément fixé :
$\exists M\colon \ \forall x,\quad f(x)\leq M\ .$
méromorphe : quotient de fonctions entières.
mesurable : pour laquelle la préimage de toute partie mesurable est mesurable.
minorée : dont toutes les valeurs sont supérieures à un élément fixé :
$\exists m\colon \ \forall x,\quad f(x)\geq m\ .$
monotone : croissante ou décroissante.
de Morse : différentiable de classe C² dont les points critiques sont non dégénérés.
multiplicative : arithmétique pour laquelle l'image du produit de termes premiers entre eux est le produit des images :
$\forall a,b,\quad a\wedge b=1\Rightarrow f(ab)=f(a)f(b)\ .$
multivaluée : holomorphe définie sur une variété riemannienne se projetant sur le plan complexe.

N

négative : dont toutes les valeurs sont négatives ou nulles :
$\forall x,\quad f(x)\leq 0\ .$
négligeable : dont le quotient avec la fonction d'origine a une limite nulle :
$f={\underset {x\to a}{o}}(g)\quad \Leftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0,\exists U\ni a\colon \forall x\in U,\quad |f(x)|\leq \varepsilon |g(x)|\ .$
nulle : constante de valeur zéro :
$\forall x,\quad f(x)=0\ .$
numérique : à valeurs dans un ensemble de nombres.

O

ouverte : pour laquelle l'image de chaque ouvert est ouverte.

P

paire : dont le domaine est symétrique par rapport à l'origine et pour laquelle le changement de signe de la variable ne change pas la valeur :
$\forall x,\quad f(-x)=f(x)\ .$
partielle : définie seulement sur une partie de son ensemble source.
partielle récursive : (partielle) dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing.
périodique : dont le domaine de définition et les valeurs sont invariants par une translation fixée :
$\exists T\colon \ \forall x,\quad f(x+T)=f(x)\ .$
polynôme ou polynomiale : dont l'expression est une combinaison de sommes et de produits de la variable avec elle-même et avec des constantes :
$x\mapsto a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\ .$
positive : dont toutes les valeurs sont positives ou nulles :
$\forall x,\quad f(x)\geq 0\ .$
presque périodique : continue et dont les ensembles de presque-périodes sont tous bien répartis.
primitive : dont la dérivée est la fonction d'origine :
$F'=f\ .$
propre : dont l'image par un opérateur est un multiple d'elle-même :
$T(f)=\lambda f\ .$
puissance : définie comme le produit itéré de la variable avec elle-même, ou plus généralement comme la composée du logarithme avec une exponentielle :
$x\mapsto x^{\alpha }=\exp(\alpha \ln(x))\ .$

Q

quadratique : polynomiale de degré 2 :
$x\mapsto ax^{2}+bx+c\ .$
quartique : polynomiale de degré 4 :
$x\mapsto ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\ .$
quintique : polynomiale de degré 5 :
$x\mapsto ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f\ .$

R

rationnelle : quotient de fonctions polynômes :
$x\mapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}}\ .$
réciproque : dont la composée avec la fonction d'origine redonne la variable :
$\forall x,\quad g(f(x))=x,\qquad \forall x,\quad f(g(x))=x\ .$
récursive : dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing pour toute entrée.
réelle : à valeurs dans l'ensemble des nombres réels.
réglée : qui est limite uniforme de fonctions en escalier.
de répartition : dont la valeur en chaque réel détermine la probabilité pour une variable aléatoire réelle fixée d'avoir une valeur inférieure :
$x\mapsto \mathbb {P} (X\leq x)\ .$

S

semicalculable : (partielle) dont les valeurs sont déterminées par un algorithme exécutable par une même machine de Turing.
semicontinue (inférieurement/supérieurement) : pour laquelle la préimage de tout intervalle ouvert non borné (à gauche/à droite) est un ouvert.
simple : dont l'ensemble image est de cardinal fini.
sous-additive : pour laquelle l'image de la somme est toujours inférieure à la somme des images :
$\forall x,y,\quad f(x+y)\leq f(x)+f(y)\ .$
sous-linéaire : sous-additive et positivement homogène.
sous-modulaire : pour laquelle la somme des images sur deux ensembles est supérieure à la somme des images sur leur intersection et leur union :
$\forall X,Y,\quad f(X\cap Y)+f(X\cup Y)\leq f(X)+f(Y)\ .$
spéciale : appartenant à une liste de fonctions transcendantes qui ne peuvent s'exprimer par combinaison de sommes, produit, quotient et composée de fonctions polynômes, logarithme et exponentielle.
surjective : dont l'image est tout l'ensemble d'arrivée :
$\forall y,\exists x\colon \quad f(x)=y\ .$
symétrique : (à plusieurs variables) pour laquelle l'image d'un n-uplet ne dépend pas de l'ordre des termes :
$\forall \sigma ,\quad f(x_{1},\dots ,x_{n})=f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})\ .$

T

totale : dont le domaine de définition est tout l'ensemble de départ.
transcendante : qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients polynomiaux en la variable.

Voir aussi algébrique.

trigonométrique : l'une des fonctions sinus, cosinus, tangente ou leur inverse (cosécante, sécante et cotangente)

U

uniformément continue : dont l'écart entre deux images est contrôlé par l'écart entre les antécédents :

\forall \varepsilon >0,\exists \eta >0\colon \ \forall x,y,\quad d(x,y)<\eta \ \Rightarrow \ \delta (f(x),f(y))<\varepsilon \ .

V

à variation bornée : dont la somme des valeurs absolues des variations le long d'une subdivision est bornée :
$\sup \left\{\sum _{k=1}^{n}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|,\ a\leq x_{0}\leq x_{1}\leq \dots \leq x_{n}\leq b\right\}<+\infty \ .$