Équation différentielle autonome

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Une équation différentielle autonome est un cas particulier important d'équation différentielle où la variable n'apparaît pas dans l'équation fonctionnelle. C'est une équation de la forme :

Les lois de la physique s'appliquent en général à des fonctions du temps, et se présentent sous forme d'équations différentielles autonomes, ce qui manifeste l'invariance de ces lois dans le temps. Ainsi, si un système autonome revient à sa position initiale au bout d'un intervalle de temps , il connaît dès lors une évolution périodique de période .

L'étude des équations autonomes est équivalente à celle des champs de vecteurs. Pour une équation du premier ordre, les solutions sont une famille de courbes qui ne se coupent pas (d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz) et qui remplissent l'espace. Elles sont tangentes au champ de vecteurs en chaque point.

Résolution par les séries de Taylor[modifier | modifier le code]

Pour résoudre par les séries de Taylor, il nous faut tout d’abord ajouter une condition initiale. Et sans perte de généralité, posons cette condition comme étant:

En utilisant la théorie des espèces de structures appliquée aux équations différentielles nous calculons la solution de la façon suivante:

Soit (*)

une équation différentielle générale autonome d'ordre 1 accompagnée d'une condition initiale. Exprimons tout d'abord la fonction en série de Taylor. Ainsi

Alors la solution de (*) est donnée par la série de Taylor suivante :

avec

et

Système différentiel autonome[modifier | modifier le code]

Un système de deux équations différentielles autonomes du premier ordre est un système de la forme

avec et continues sur un ouvert de . On observe immédiatement qu'il est indépendant de . Ce système peut être transformé en une équation différentielle en  :

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean-François Gagné (dir. Gilbert Labelle), Rapport existant entre la théorie des espèces et les équations différentielles, Université du Québec à Montréal (Mémoire de maîtrise en mathématiques), 1985, 110 pages, [M1216].