Nombre de Perrin

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En mathématiques, un nombre de Perrin est un terme de la suite de Perrin, variante de la suite de Padovan. Cette suite d'entiers est définie par récurrence par :

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2 et pour tout n ≥ 3, P(n) = P(n − 2) + P(n − 3).

Les 20 premiers termes sont[1] :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
P(n) 3 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17 22 29 39 51 68 90 119 158 209

Primalité[modifier | modifier le code]

Si n est un nombre premier alors P(n) est un multiple de n.

François Olivier Raoul Perrin avait conjecturé la réciproque en 1899. Cependant, le premier contre-exemple n > 1 a été trouvé en 1980 : il s'agit de 271 441. En effet, 271 441 divise P(271 441) mais 271 441 = 5212. Le nombre P(271 441) a 33 150 chiffres. Un tel nombre est appelé nombre pseudo-premier de Perrin[2]. Il y en a une infinité[3].

Les nombres de Perrin premiers forment la suite A074788 de l'OEIS, et leurs indices la suite A112881.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Suite A001608 de l'OEIS.
  2. Suite A013998 de l'OEIS.
  3. (en) Jon Grantham, « There are infinitely many Perrin pseudoprimes », J. Number Theory, vol. 130, no 5,‎ , p. 1117-1128 (DOI 10.1016/j.jnt.2009.11.008, lire en ligne).

Liens externes[modifier | modifier le code]