Primitive

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 Ne pas confondre avec la notion de fonction primitive en informatique.

En mathématiques, une primitive d'une fonction f d'une variable réelle définie sur un intervalle I est une fonction F, définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f, autrement dit telle que pour tout réel x de l'intervalle I, F'(x) = f(x) ; une notation rigoureuse (voir calcul des prédicats) est donc :

Une condition suffisante pour qu'une fonction f admette des primitives sur un intervalle est qu'elle y soit continue.

Si f est une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I alors, pour tout réel k, une primitive de kf sur I est kF.

Si F et G sont des primitives respectives de deux fonctions f et g, alors une primitive de f + g est F + G.

Si une fonction f admet une primitive sur un intervalle, elle en admet une infinité, qui diffèrent d'une constante (appelée souvent « constante d'intégration ») : si F1 et F2 sont deux primitives de f, alors il existe un scalaire C tel que F1 = F2 + C.

La recherche de primitives est fortement liée au calcul d'intégrales à cause du second théorème fondamental de l'analyse : si F est une primitive d'une fonction intégrable f : [a, b] → ℝ, alors :

Exemples[modifier | modifier le code]

Polynômes et fonctions rationnelles
  • Une primitive de la fonction est
  • Une primitive de la fonction est
  • Une primitive de la fonction est
  • Une primitive de la fonction est pour a réel différent de −1.
  • Une primitive sur ]0, +∞[ de la fonction inverse est la fonction logarithme népérien .
  • Dans le cas général, il n'y a pas de manière simple d'avoir la primitive d'une fraction rationnelle sauf en la décomposant en éléments simples.
Fonctions trigonométriques
  • Une primitive de la fonction cosinus est la fonction sinus.
  • Une primitive de la fonction sinus est l'opposé de la fonction cosinus.
Autres
Une primitive de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.

Calcul automatique[modifier | modifier le code]

Des logiciels comme Maxima, Sage, Maple ou Mathematica permettent depuis quelques années de calculer interactivement certaines primitives sous forme symbolique. Le premier logiciel permettant d'effectuer de l'intégration assistée par ordinateur sous forme symbolique était le langage FORMAC, utilisé par les physiciens dans les années 1970.

Il n'est cependant pas possible en général d'exprimer les primitives de fonctions élémentaires (comme celles de la fonction ) à l'aide de fonctions élémentaires seules (d'où la nécessité d'introduire des « fonctions spéciales » telles que la fonction Logarithme intégral, Li) ; des conditions précises pour qu'une primitive « élémentaire » explicite existe sont données par un théorème de Liouville, et il est même possible d'automatiser complètement la recherche de telles primitives, grâce à l'algorithme de Risch.

Primitives courantes[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : table de primitives et table d'intégrales.

Pour le premier tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives, la deuxième est son domaine de définition et la troisième, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans ce domaine.

Pour le second tableau, la première colonne est la fonction dont on cherche les primitives et la seconde, les primitives de cette fonction sur un intervalle inclus dans son domaine.

(Sur une réunion d'intervalles disjoints, une primitive a la même expression, mais avec une constante C a priori différente pour chaque intervalle.)

Fonctions simples[modifier | modifier le code]

désignent des constantes réelles, avec .

Tableau des primitives simples

Ce tableau inclut les primitives de non seulement pour (entier naturel), ce qui permet de trouver celles des polynômes, mais aussi pour (entier relatif), par exemple , et même pour a réel non entier, par exemple et . Les fonctions arcsin, arccos et arctan sont les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques correspondantes. Les fonctions cosh, sinh, tanh, et leurs fonctions réciproques arsinh, arcosh et artanh, etc. sont définies et étudiées précisément dans l'article Fonction hyperbolique

Fonctions composées[modifier | modifier le code]

Soient u et v deux fonctions, et a et λ des réels, avec a ≠ –1.

Tableau des primitives composées

Primitive généralisée[modifier | modifier le code]

Une primitive généralisée[1] d'une application f : IE, où I est un intervalle réel et E un espace vectoriel normé, est une application continue F : IE telle que, sur le complémentaire d'un ensemble dénombrable, F' = f.

Si F en est une alors :

Le premier théorème fondamental de l'analyse fournit une réciproque partielle : si f : I ℝ est réglée[3] (donc localement Riemann-intégrable), l'application F définie par

(où a est un point arbitraire de I) est une primitive généralisée de f.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, , 2e éd. (lire en ligne), p. 605, déf. 16.
  2. Ramis, Warusfel et al. 2014, p. 605, prop. 92.
  3. En particulier si f est continue par morceaux ou monotone par morceaux.

Articles connexes[modifier | modifier le code]