Théorie de Sturm-Liouville

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Page d'aide sur l'homonymie Cet article concerne les équations différentielles. Pour les fonctions polynômes, voir Théorème de Sturm.

En mathématiques, la théorie de Sturm-Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d'ordre deux de la forme

dans laquelle le paramètre fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette équation est fréquemment posée sur un segment et accompagnée de conditions limites reliant les valeurs , , et . Les solutions et du problème apparaissent alors comme valeur propre et vecteur propre d'un certain opérateur autoadjoint dans un espace de Hilbert. Le résultat principal de la théorie est l'existence d'une base hilbertienne de vecteurs propres associés à des valeurs propres formant une suite strictement croissante.

Cette théorie porte le nom des mathématiciens Charles Sturm (1803-1855) et Joseph Liouville (1809-1882) qui travaillèrent conjointement à sa mise en forme.

Forme de Sturm-Liouville pour une équation homogène[modifier | modifier le code]

Soit une équation différentielle linéaire d'ordre deux, scalaire, homogène

Il est possible de la mettre sous la forme

dite forme de Sturm-Liouville, avec une fonction p à valeurs strictement positives. En général, il faut pour cela utiliser un facteur intégrant. En l'occurrence, après division par et multiplication par le facteur

on obtient le résultat désiré. Cette technique ne peut pas être généralisée aux équations vectorielles.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voici pour quelques équations classiques, la forme de Sturm-Liouville correspondante :

 ;
.

Dans le cas d'une équation telle que

,

la forme de Sturm-Liouville s'écrit

.

Le théorème de comparaison de Sturm[modifier | modifier le code]

Le théorème donne un lien entre les solutions de deux équations différentielles de Sturm-Liouville

On suppose que pour tout élément , et .

Alors si est une solution non triviale de l'équation différentielle et si est solution de , entre deux points d'annulation de se trouve un point d'annulation de .

Problème de Sturm-Liouville[modifier | modifier le code]

Le problème est constitué de l'équation différentielle (1) et des conditions aux limites (supposées non triviales)

L'opérateur de Sturm-Liouville associé est l'opérateur différentiel

Liens externes[modifier | modifier le code]