Inégalité de Carleman

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L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman (en) en 1922[1] et portant sur les séries à termes positifs :

La constante e est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.

Démonstration de l'inégalité[modifier | modifier le code]

Soit pour tout , . Observons que , et donc . Soit . Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique,

Une inversion de somme conduit alors à

Or la suite de nombre rationnels croît vers le nombre irrationnel e, donc pour tout . D'où

et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la suite ne soit identiquement nulle. L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. T. Carleman, « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922, p. 181-196.

Articles connexes[modifier | modifier le code]