Antécédent (mathématiques)

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En mathématiques, étant donnés deux ensembles , et une application , on appelle antécédent (par ) d'un élément de tout élément dont l'image par est , c'est-à-dire tout élément de tel que .

Un antécédent de est donc, par définition, un élément de l'image réciproque .

En cryptologie, on utilise le mot préimage plutôt que le mot antécédent[réf. nécessaire], à cause de l'influence de l'anglais où le mot preimage est utilisé pour désigner un antécédent.

Exemples[modifier | modifier le code]

Soient la fonction carré et un nombre réel.

  • Si alors admet deux antécédents, qui sont et .
  • Si alors admet admet un seul antécédent, qui est .
  • Si alors n'admet aucun antécédent.

Image d'un ensemble par une application[modifier | modifier le code]

Soient une application et une partie de . On appelle « image de A par f » l'ensemble des éléments de qui admettent au moins un antécédent appartenant à  ; on la note  :

En particulier, l'image de par , appelée image de f, est l'ensemble des éléments de qui admettent au moins un antécédent :

Injections, surjections, bijections[modifier | modifier le code]

Soit une application . On dit que est :

  • injective, ou que c'est une injection, si tout élément de admet au plus un antécédent ;
  • surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si  ;
  • bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si est à la fois injective et surjective.
    Dans ce cas, on peut définir l'application , où est l'unique antécédent de par . C'est aussi une bijection, dite réciproque de .