Antécédent (mathématiques)

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En mathématiques, étant donnés deux ensembles E, F et une application , on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément dont l'image par f est y, c'est-à-dire tout élément x de E tel que .

Un antécédent est donc, par définition, un élément de l'image réciproque .

En cryptologie, on utilise le mot préimage plutôt que le mot antécédent, à cause de l'influence de l'anglais où le mot preimage est utilisé pour désigner un antécédent.

Exemples[modifier | modifier le code]

Si y > 0, y admet deux antécédents, qui sont et
Si y = 0, y admet un seul antécédent, qui est 0
Si y < 0, y n'admet aucun antécédent
  • Soient E un ensemble et une application , où désigne l'ensemble des parties de E. On définit  : Y est une partie de E, autrement dit un élément de l'ensemble .
Cet élément n'admet aucun antécédent par f. En effet, supposons qu'un tel antécédent existe. On a donc .
Deux cas sont possibles :
, ce qui veut dire (par définition de Y) que , ou
, ce qui veut dire (par définition de Y) que , ou
Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve par l'absurde que Y n'a pas d'antécédent (cf. l'argument de la diagonale de Cantor).

Image d'un ensemble par une application[modifier | modifier le code]

Soient une application et A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f l'ensemble des éléments de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note :

En particulier, l'image de E par f, appelée image de f, est l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent :

Injections, surjections, bijections[modifier | modifier le code]

Soit une application .

  • On dit que f est injective, ou que c'est une injection, si tout élément de F admet au plus un antécédent.
  • On dit que f est surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si
.
  • On dit que f est bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de F admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si f est à la fois injective et surjective.
Dans ce cas, on peut définir l'application , où x est l'unique antécédent de y par f. C'est aussi une bijection, dite réciproque de f.

(L'exemple vu plus haut montre qu'il n'existe aucune application surjective .)