Antécédent (mathématiques)

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Antécédent.

En mathématiques, étant donnés deux ensembles , et une application , on appelle antécédent (par ) d'un élément de tout élément dont l'image par est , c'est-à-dire tout élément de tel que .

Un antécédent de est donc, par définition, un élément de l'image réciproque .

Exemples[modifier | modifier le code]

Soient la fonction carré et un nombre réel.

  • Si alors admet deux antécédents, qui sont et .
  • Si alors admet un seul antécédent, qui est .
  • Si alors n'admet aucun antécédent.

Image d'un ensemble par une application[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Image directe et Image d'une application.

Soient une application et une partie de . On appelle « image de A par f » l'ensemble des éléments de qui admettent au moins un antécédent appartenant à  ; on la note . L'ensemble est appelé image de f.

Injections, surjections, bijections[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Injection, Surjection et Bijection.

Soit une application . On dit que est :

  • injective, si tout élément de admet au plus un antécédent ;
  • surjective, si tout élément de admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si  ;
  • bijective, si tout élément de admet un antécédent et un seul. Dans ce cas, la bijection réciproque de est l'application , où est l'unique antécédent de par .