Antécédent (mathématiques)

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Antécédent.

En mathématiques, étant donnés deux ensembles E, F et une application , on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément dont l'image par f est y, c'est-à-dire tout élément x de E tel que f(x) = y.

Un antécédent de y est donc, par définition, un élément de l'image réciproque .

Exemples[modifier | modifier le code]

Soient la fonction carré et y un nombre réel.

  • Si y > 0 alors y admet deux antécédents, qui sont et .
  • Si y = 0 alors y admet un seul antécédent, qui est 0.
  • Si y < 0 alors y n'admet aucun antécédent.

Image d'un ensemble par une application[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Image directe et Image d'une application.

Soient une application et A une partie de E. On appelle « image de A par f » l'ensemble des éléments de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note f(A). L'ensemble f(E) est appelé image de f.

Injections, surjections, bijections[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Injection, Surjection et Bijection.

Soit une application . On dit que f est :

  • injective, si tout élément de F admet au plus un antécédent ;
  • surjective, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si  ;
  • bijective, si tout élément de F admet un antécédent et un seul. Dans ce cas, la bijection réciproque de f est l'application , où x est l'unique antécédent de y par f.