Théorème de la limite monotone

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Le théorème de la limite monotone est un théorème d'analyse selon lequel les éventuelles discontinuités d'une fonction numérique monotone sont « par sauts » et les suites monotones possèdent une limite.

Énoncé pour les fonctions[modifier | modifier le code]

Soient ]a, b[ un intervalle réel ouvert non vide (borné ou non : ) et une fonction croissante. Alors[1],[2] :

  • f admet en b une limite à gauche, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon.
  • f admet en a une limite à droite, qui est finie si f est minorée et qui vaut –∞ sinon.
  • f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement f(x+) et f(x) ; elles sont finies et vérifient .

Plus généralement[3] :

Soient une partie de , une application croissante et .

  • Si est adhérent à alors
    .
  • Si est adhérent à alors
    .

Le théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant f par f ; il convient d'inverser le sens des inégalités et d'échanger « minorée » et « majorée » ainsi que « +∞ » et « –∞ ».

Énoncé pour les suites[modifier | modifier le code]

Lorsqu'on prend et dans l'énoncé général ci-dessus, on obtient :

Soit une suite croissante de réels. Alors, . Par conséquent :

  • si la suite est majorée alors elle est convergente ;
  • si la suite n'est pas majorée alors elle tend vers +∞.

Le théorème analogue pour les suites décroissantes s'en déduit en remplaçant par .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, , p. 119-120, corollaires.
  2. F. Benoist, B. Rivet, S. Maffre, L. Dorat et B. Touzillier, Mathématiques ECS 1re année, Dunod, coll. « Le compagnon », (lire en ligne), p. 396.
  3. Ramis, Deschamps et Odoux 1976, p. 119, ne l'énoncent et le démontrent que pour , mais la preuve du cas général est identique : voir par exemple « Théorème de la limite monotone » sur la Wikiversité.

Articles connexes[modifier | modifier le code]