Règle de d'Alembert
Apparence
La règle de d'Alembert (ou critère de d'Alembert), doit son nom au mathématicien français Jean le Rond d'Alembert. C'est un test de convergence pour une série à termes positifs.
Dans certains cas, elle permet d'établir la convergence absolue d'une série à termes complexes ou vectoriels, ou au contraire sa divergence.
Énoncé
[modifier | modifier le code]Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On note et les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :
- .
- Si , alors la série de terme général un converge.
- Si , alors la suite ne tend pas vers 0 (donc la série diverge grossièrement).
Si , on ne peut rien conclure : c'est le cas incertain de la règle de d'Alembert.
Remarques
[modifier | modifier le code]- La règle de d'Alembert se démontre directement[1], mais peut aussi se déduire de celle de Cauchy, grâce au lemme de Cesàro.
- Dans le cas incertain , on peut essayer la règle de Cauchy, plus précise.
- Lorsque la suite admet une limite , l'énoncé se simplifie car . Dans le cas incertain , on peut essayer la règle de Raabe-Duhamel.
- La règle de d'Alembert peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E, en analysant la série ∑un des normes. Si L < 1 et si E est complet (par exemple si E = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si ℓ > 1, elle est grossièrement divergente.
Note
[modifier | modifier le code]- Pour une démonstration, voir par exemple .