Série d'Eisenstein

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En mathématiques, les séries d'Eisenstein désignent certaines formes modulaires dont le développement en série de Fourier peut s'écrire explicitement.

Séries d'Eisenstein du groupe modulaire[modifier | modifier le code]

G4
G6
G8

Pour tout entier k ≥ 2, la série d'Eisenstein G2k est la fonction holomorphe sur le demi-plan des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive définie par

C'est une forme modulaire de poids 2k, propriété incluant que pour tous entiers relatifs a, b, c, d tels que ad – bc = 1,

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en G4 et G6 grâce à la relation de récurrence suivante (qui fait intervenir des coefficients binomiaux) :

Les dk apparaissent dans le développement en série entière de la fonction de Weierstrass :

Séries de Fourier[modifier | modifier le code]

Posons . Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont : où les coefficients de Fourier c2k sont donnés par : les Bn désignant les nombres de Bernoulli, ζ la fonction zêta de Riemann et σp(n) la somme des puissances p-ièmes des diviseurs de n. En particulier, La somme sur q se resomme en une série de Lambert : pour tout nombre complexe q de module strictement inférieur à 1.

Identités de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Ramanujan a donné de nombreuses identités intéressantes entre les tout premiers termes : pour on a


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eisenstein series » (voir la liste des auteurs).