Règle de Raabe-Duhamel

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En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas douteux de la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (un) une suite de réels strictement positifs telle que, pour un certain réel α, Alors :

  • si α < 1, la série de terme général un diverge ;
  • si α > 1, cette série converge ;
  • si α = 1, on ne peut conclure.

Exemple[modifier | modifier le code]

La série de terme général est divergente car

Démonstration[modifier | modifier le code]

Si α > 1, choisissons un réel β tel que 1 < β < α et posons On a donc à partir d'un certain rang,

Par comparaison, la convergence de la série de Riemann vn entraîne celle de un.

Le cas α < 1 se traite de manière analogue.

Dans le cas α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre qu'on ne peut pas conclure.

Règle de Kummer[modifier | modifier le code]

La règle de Kummer, plus générale, peut s'énoncer comme suit[1],[2].

Soient (un) et (kn) deux suites strictement positives.

  • Si ∑1/kn = +∞ et si, à partir d'un certain rang, knun/un+1kn+1 ≤ 0, alors un diverge.
  • Si lim inf (knun/un+1kn+1) > 0, alors un converge.

La règle de Raabe-Duhamel correspond à kn = n et celle de Bertrand[3], à kn = n ln(n). Le critère de Gauss[4],[5] est une conséquence de celui de Bertrand.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  2. La « règle de Kummer », sur bibmath.net, n'est formulée que si (knun/un+1kn+1) admet une limite ρ : la série un diverge si ρ < 0 et ∑1/kn = +∞, et converge si ρ > 0.
  3. (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  4. (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  5. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », MathWorld.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221