Règle de Raabe-Duhamel

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En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas douteux de la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Règle de Raabe-Duhamel[1] — Soit une suite de réels strictement positifs.

  • Si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.
  • S'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge.

Cette règle est un corollaire immédiat[2] de celle de Kummer (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite admet une limite réelle α, ce qui équivaut à

,

la règle de Raabe-Duhamel garantit que :

  • si α < 1, diverge ;
  • si α > 1, converge.

Si α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre qu'on ne peut pas conclure.

Exemple[modifier | modifier le code]

Soient . La série de terme général est divergente si et convergente si [3]. En effet : .

Règle de Kummer[modifier | modifier le code]

La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit[4],[5] :

Soient (un) et (kn) deux suites strictement positives.

  • Si ∑1/kn = +∞ et si, à partir d'un certain rang, knun/un+1kn+1 ≤ 0, alors un diverge.
  • Si lim inf (knun/un+1kn+1) > 0, alors un converge.

Henri Padé a remarqué en 1908[6] que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs[2].

Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand[7] (en prenant kn = n ln(n)), dont le critère de Gauss[8],[9] est une conséquence.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) « Raabe criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  2. a et b Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon Série numérique sur la Wikiversité.
  3. (en) Thomas John I'Anson Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, Londres, Macmillan, (lire en ligne), p. 33, exemple 2.
  4. (en) « Kummer criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  5. La « règle de Kummer », sur bibmath.net, n'est formulée que si (knun/un+1kn+1) admet une limite ρ : la série un diverge si ρ < 0 et ∑1/kn = +∞, et converge si ρ > 0.
  6. B. Beck, I. Selon et C. Feuillet, Exercices & Problèmes Maths 2e année MP, Hachette Éducation, coll. « H Prépa », (lire en ligne), p. 264.
  7. (en) « Bertrand criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  8. (en) « Gauss criterion », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  9. (en) Eric W. Weisstein, « Gauss's Test », MathWorld.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221