Méthode de variation des constantes

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la méthode de variation des constantes (ou méthode de Lagrange) est une méthode de résolution des équations différentielles. Elle permet en particulier de déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (c'est-à-dire sans second membre) associée.

La méthode a été inventée par le mathématicien et physicien Pierre-Simon de Laplace, pour la résolution des équations différentielles linéaires. Elle tire son nom de ce que, pour l'essentiel, elle consiste à chercher les solutions sous une forme analogue à celle déjà trouvée pour une équation associée plus simple, mais en remplaçant la ou les constantes de cette solution par de nouvelles fonctions inconnues.

Cas du premier ordre[modifier | modifier le code]

Pour une équation différentielle linéaire d'ordre 1, si la solution générale de l'équation homogène

est

on cherche celle de

sous la forme

En reportant dans l'équation initiale, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale mais portant sur k :

En notant k0 une primitive de la fonction c/(az1), la solution générale k s'exprime sous la forme

ce qui permet de remonter à l'expression de la solution générale yK = y0 + zK :

Pour expliciter z1 puis k0, il faut réaliser deux calculs de primitives. De ce fait, la solution ne s'exprime le plus souvent pas à l'aide des fonctions usuelles (voir à ce sujet le théorème de Liouville).

Cas du second ordre[modifier | modifier le code]

Pour une équation différentielle linéaire d'ordre deux, mise sous la forme , si et sont deux solutions formant une base des solutions de l'équation homogène, on cherchera une solution particulière y vérifiant

.

Les calculs amènent alors au système linéaire en et suivant

Remarque. La première équation est obtenue en dérivant l'expression de y et en égalisant avec celle de y' ; la seconde est obtenue en substituant y et ses dérivées d'ordre supérieur dans l'équation différentielle.

On peut obtenir et en utilisant la règle de Cramer. En effet si le wronskien du système n'est pas nul on a :

Cas général[modifier | modifier le code]

Pour une équation différentielle linéaire d'ordre n avec second membre, on cherchera une solution particulière combinaison linéaire d'un système fondamental de solutions , i.e. d'une base de l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène. Les coefficients de la combinaison linéaire sont maintenant des fonctions que l'on cherche à déterminer. C'est une simple généralisation du cas n=2, cependant il existe une reformulation matricielle.

Une équation différentielle ordinaire linéaire non-homogène s'écrit de manière générale

est la dérivèe k-ième de . On suppose au préalable disposer de n solutions linéairement indépendantes de l'équation homogène

En regroupant dans une colonne, les dérivée successive de chaque solution , on forme la matrice suivante

L'indépendance des n solutions peut se vérifier pour chaque x fixé, en calculant le déterminant de cette matrice qui ne doit pas s'annuler, cf. wronskien.

La méthode de variation de la constante consiste à chercher une solution particulière de (1) sous la forme

avec des fonction au moins . En réalité, on introduit à cette étape beaucoup trop d'inconnues et il faut imposer une égalité similaire sur les dérivées supérieures:

ce qui revient, par récurrence, à imposer

Cependant, la dérivée n-ième est laissée telle quelle, on obtient en dérivant (5) avec k:= n-1

En insérant maintenant (4), (5) et (7) dans l'équation non-homogène (1), on obtient

Or puisque les sont solution de (2), la premième somme disparait laissant

Théorème: Si les vérifient les équations différentielle (6) et (8) alors l'expression (4) est solution (1).

(6) et (8) peuvent se réecrire sous forme matricielle

ce qui se résout comme dans le cas du second ordre avec la règle de Cramer. Notons le wronskien, que l'on a supposé non nul, alors

Formulation matricielle[modifier | modifier le code]

Soit . Notons le vecteur colonne

Une fonction est solution de (1) si et seulement si satisfait

Notons la matrice du membre de droite. On a transformé une équation d'ordre n en une équation d'ordre 1.

La résolvante de l'équation homogène associée est l'application qui envoie la valeur de toute solution au point x1 à sa valeur au point x2 (justification de l'existence, cf. Théorème de Cauchy-Lipschitz), i.e. pour toute solution de l'équation homogène associée à (11)

Si l'on regroupe n solutions linéairement indépendantes de l'équation homogème dans la matrice de (3), on a naturellement

ainsi que

Remarque:

  • (13) et (14) restent valable pour toute famille de solutions, linéairement indépendantes ou pas.
  • Si l'on connait explicitement un système fondamental de solutions , alors on peut expliciter la résolvante à partir de (14). En effet, par la formule de Liouville, si est inversible pour un certain x0, alors elle l'est pour tout x, on peut ainsi écrire .

Attention: Nous allons utiliser sans le démontrer, l'invariante du résolvant par translation, en particulier que (abus de notation) et que vu comme fonction à une variable, c'est un "groupe à 1-paramètre" partout où il est défini, i.e. et lorsque cela est défini. Par ailleurs, satisfait aussi (13).

Dans cette formulation, la méthode de variation des constantes consiste à faire le "changement de variable"

(13) se réécrit donc

Or puisque satisfait aussi (13), il ne reste que

ce qui est équivalent à (9), avec ici la dépendence explicite aux valeurs des solutions fondamentales en x0.

En remarquant que (matrice identité) et avec (15), on intègre le vecteur composante par composante

En réutilisant (15) et partout où cela est défini, on obtient finalement

Exemple d'application à la physique[modifier | modifier le code]

L'équation différentielle du second ordre à coefficients constants intervient en physique dans l'étude des systèmes oscillants à un degré de liberté, lorsque l'excitation (force, courant, ...) appliquée au système oscillant est nulle.

La méthode de l'équation caractéristique (découverte par Euler) donne la solution de cette équation différentielle homogène, qui est une combinaison linéaire de fonctions exponentielles (complexes).

Lorsque l'on applique une excitation , l'équation devient :

La méthode de variation de la constante permet d'en trouver la solution générale.