Méthode de variation des constantes

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, la méthode de variation des constantes (ou méthode de Lagrange), est une méthode de résolution des équations différentielles. Elle permet en particulier de déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (c'est-à-dire sans second membre) associée.

La méthode a été inventée par le mathématicien et physicien Pierre-Simon de Laplace, pour la résolution des équations différentielles linéaires. Elle tire son nom de ce que, pour l'essentiel, elle consiste à chercher les solutions sous une forme analogue à celle déjà trouvée pour une équation associée plus simple, mais en remplaçant la ou les constantes de cette solution par de nouvelles fonctions inconnues.

Cas du premier ordre[modifier | modifier le code]

Pour une équation différentielle linéaire d'ordre 1, si la solution générale de l'équation homogène

az'+bz=0

est

z_K(x)= Kz_1(x),K\in\R,

on cherche celle de

ay'+by=c

sous la forme

y(x) = k(x)z_1(x).

En reportant dans l'équation initiale, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale mais portant sur k :

k'=\frac c{az_1}.

En notant k0 une primitive de la fonction c/(az1), la solution générale k s'exprime sous la forme

k_K(x) = k_0(x) +K,K\in\R

ce qui permet de remonter à l'expression de la solution générale yK = y0 + zK :

y_K(x)=(k_0(x) +K)z_1(x),K\in\R.

Pour expliciter z1 puis k0, il faut réaliser deux calculs de primitives. De ce fait, la solution ne s'exprime le plus souvent pas à l'aide des fonctions usuelles (voir à ce sujet le théorème de Liouville).

Cas du second ordre[modifier | modifier le code]

Pour une équation différentielle linéaire d'ordre deux de la forme y'' + a(x) \cdot y' + b(x) \cdot y = d(x), si y_1 et y_2 sont deux solutions formant une base des solutions de l'équation homogène, on cherchera une solution particulière y vérifiant

\begin{cases}y(x)=\lambda(x) \cdot y_1(x) + \mu(x) \cdot y_2(x)\\y'(x)=\lambda(x) \cdot y_1'(x) + \mu(x) \cdot y_2'(x)\end{cases}.

Les calculs amènent alors au système linéaire en \lambda(x) et \mu(x) suivant

\begin{cases}\lambda'(x) \cdot y_1(x)+\mu'(x) \cdot y_2(x)=0\\\lambda'(x) \cdot y'_1(x)+\mu'(x) \cdot y'_2(x)=d(x)\end{cases}

Remarque. La première équation est obtenue en dérivant l'expression de y et en égalisant avec celle de y' . Tandis que la seconde équation est obtenue en substituant y et ses dérivées d'ordre supérieur dans l'équation différentielle.

On peut obtenir \lambda' et \mu' en utilisant la règle de Cramer. En effet si le wronskien du système n'est pas nul on a :

\lambda'(x) = { \begin{vmatrix}0&y_2(x)\\d(x)&y'_2(x)\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}y_1(x)&y_2(x)\\y'_1(x)&y'_2(x)\end{vmatrix} } = { - y_2(x)d(x) \over y_1(x)y'_2(x) - y'_1(x)y_2(x)},\quad \mu'(x) = { \begin{vmatrix}y_1(x)&0\\y'_1(x)&d(x)\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}y_1(x)&y_2(x)\\y'_1(x)&y'_2(x)\end{vmatrix} } =  { y_1(x)d(x) \over y_1(x)y'_2(x) - y'_1(x)y_2(x)}.

Cas général[modifier | modifier le code]

De manière générale, pour une équation différentielle linéaire d'ordre n, on cherchera des solutions qui sont des combinaisons linéaires des fonctions solutions formant une base des solutions de l'équation homogène, mais en considérant les coefficients de cette combinaison linéaire comme des fonctions.

Exemple d'application à la physique[modifier | modifier le code]

L'équation différentielle du second ordre à coefficients constants ay''(t) + by'(t) + cy(t) = 0 intervient en physique dans l'étude des systèmes oscillants à un degré de liberté, lorsque l'excitation (force, courant, ...) appliquée au système oscillant est nulle.

La méthode de l'équation caractéristique (découverte par Euler) donne la solution de cette équation différentielle homogène, qui est une combinaison linéaire de fonctions exponentielles (complexes).

Lorsque l'on applique une excitation f(t), l'équation devient :

ay''(t) + by'(t) + cy(t) = f(t).

La méthode de variation de la constante permet d'en trouver la solution générale.