Intégration par parties

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En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où u et v sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :

ou encore, en remarquant que u' (x) dx et v' (x) dx sont respectivement les différentielles de u et de v :

.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :

.

On a donc

puis :

,

ce qui, d'après le second théorème fondamental de l'analyse, donne l'égalité annoncée.

Choix des variables[modifier | modifier le code]

L'un des deux choix possibles pour les fonctions u et v' peut s'avérer meilleur que l'autre.

.

Si l'on choisit u = ln et v' (x) = x, on a u' (x) = 1/x et l'on peut prendre v(x) = x2/2, d'où :

.

En revanche, si l'on choisit u(x) = x et v' = ln, on a u' = 1 et l'on peut prendre v(x) = xln(x) – x, d'où :

.

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale (elle s'y ramène cependant puisque ).

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Effectuons le calcul de
    grâce à une intégration par parties.
    Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, de telle sorte que v = sin, par exemple (c.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :
  • Il s'agit de la méthode classique[1] pour trouver une primitive du logarithme naturel :
    .
  • Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
  • Une double intégration par parties permet par exemple de montrer[1] que
    et de même,
    ,
    où le réel C est une constante d'intégration.

Généralisations[modifier | modifier le code]

  • On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
  • Par récurrence, on peut généraliser ce théorème aux fonctions de classe Cn+1 :
    .
  • Si, sur [a, b], u est absolument continue et g est intégrable, alors
    ,
    pour toute fonction v telle que.La démonstration[2] est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Voir les exemples de la leçon « Intégration par parties » sur Wikiversité.
  2. (en) Stanisław Hartman (de) et Jan Mikusiński, The Theory of Lebesgue Measure and Integration, Pergamon, (lire en ligne), p. 103.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Nombreux exemples d'intégration par parties bien détaillés