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En mathématiques , l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.
La formule-type est la suivante, où u v dérivables , de dérivées continues et a b réels de leur intervalle de définition :
∫
a
b
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x}
ou encore, en remarquant que u' (x ) dx v' (x ) dx différentielles de u v
∫
a
b
u
d
v
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.}
La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
.
{\displaystyle (uv)'=u'v+uv'.}
On a donc
u
v
′
=
(
u
v
)
′
−
u
′
v
{\displaystyle uv'=(uv)'-u'v}
puis :
∫
a
b
u
(
x
)
v
′
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
(
u
v
)
′
(
x
)
d
x
−
∫
a
b
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(uv)'(x)~\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)~\mathrm {d} x,}
ce qui, d'après le second théorème fondamental de l'analyse , donne l'égalité annoncée.
Soit deux fonctions dérivables u v
d
(
u
v
)
d
x
=
u
d
v
d
x
+
v
d
u
d
x
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (uv)}{\mathrm {d} x}}=u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}.}
En passant aux différentielles , on obtient :
d
(
u
v
)
=
u
d
v
+
v
d
u
.
{\displaystyle \mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u.}
On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :
u
d
v
=
d
(
u
v
)
−
v
d
u
.
{\displaystyle u\mathrm {d} v=\mathrm {d} (uv)-v\mathrm {d} u.}
Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :
∫
a
b
u
d
v
=
∫
a
b
d
(
u
v
)
−
∫
a
b
v
d
u
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=\int _{a}^{b}\mathrm {d} (uv)-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.}
On obtient alors :
∫
a
b
u
d
v
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.}
L'un des deux choix possibles pour les fonctions u v'
I
=
∫
1
2
x
ln
(
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x}
Si l'on choisit u = lnv' (x ) = x u' (x ) = 1/x v (x ) = x 2 /2
I
=
∫
1
2
x
ln
(
x
)
d
x
=
[
x
2
2
ln
(
x
)
]
1
2
−
1
2
∫
1
2
x
d
x
=
[
x
2
2
ln
(
x
)
]
1
2
−
1
2
[
x
2
2
]
1
2
.
{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}.}
En revanche, si l'on choisit u (x ) = x v' = lnu' = 1v (x ) = x ln(x ) – x
I
=
∫
1
2
x
ln
(
x
)
d
x
=
[
x
(
x
ln
(
x
)
−
x
)
]
1
2
−
∫
1
2
(
x
ln
(
x
)
−
x
)
d
x
{\displaystyle I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[x(x\ln(x)-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,\mathrm {d} x}
On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale (elle s'y ramène cependant puisque
∫
1
2
(
x
ln
(
x
)
−
x
)
d
x
=
I
−
3
/
2
{\displaystyle \scriptstyle \int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,\mathrm {d} x=I-3/2}
Effectuons le calcul de
∫
0
π
3
x
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos(x)\,\mathrm {d} x}
u (x ) = x u' = 1v' = cosv = sinc.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :
∫
0
π
3
x
cos
(
x
)
d
x
=
[
u
(
x
)
v
(
x
)
]
0
π
3
−
∫
0
π
3
u
′
(
x
)
v
(
x
)
d
x
=
[
x
sin
(
x
)
]
0
π
3
−
∫
0
π
3
sin
(
x
)
d
x
=
π
3
6
+
[
cos
(
x
)
]
0
π
3
=
π
3
6
−
1
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos(x)\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}-{\frac {1}{2}}\ .\end{aligned}}}
Il s'agit de la méthode classique pour trouver une primitive du logarithme naturel . En effet,
∫
1
x
ln
(
u
)
d
u
=
∫
1
x
1
×
ln
(
u
)
d
u
=
[
u
ln
(
u
)
]
1
x
−
∫
1
x
u
u
d
u
=
x
ln
(
x
)
−
[
u
]
1
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{x}\ln(u)\,\mathrm {d} u&=\int _{1}^{x}1\times \ln(u)\,\mathrm {d} u\\&=\left[u\ln(u)\right]_{1}^{x}-\int _{1}^{x}{\frac {u}{u}}\,\mathrm {d} u\\&=x\ln(x)-\left[u\right]_{1}^{x}\\&=x\ln(x)-x+1\ .\end{aligned}}}
x
↦
x
ln
(
x
)
−
x
+
1
{\displaystyle x\mapsto x\ln(x)-x+1}
x
↦
x
ln
(
x
)
−
x
{\displaystyle x\mapsto x\ln(x)-x}
x
↦
ln
(
x
)
{\displaystyle x\mapsto \ln(x)}
Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma .
On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
Par récurrence, on peut généraliser ce théorème aux fonctions de classe Cn +1
∫
a
b
u
(
x
)
v
(
n
+
1
)
(
x
)
d
x
=
[
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
u
(
k
)
v
(
n
−
k
)
]
a
b
+
(
−
1
)
n
+
1
∫
a
b
u
(
n
+
1
)
(
x
)
v
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n+1}\int _{a}^{b}u^{(n+1)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x.}
Si, sur [a , b ] , u absolument continue et g intégrable , alors
∫
a
b
u
g
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
u
′
v
,
{\displaystyle \int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v,}
v
∀
x
∈
[
a
,
b
]
v
(
x
)
=
v
(
a
)
+
∫
a
x
g
.
{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g.}
[ 1] ci-dessus , avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v uv
Sur les autres projets Wikimedia :
Nombreux exemples d'intégration par parties bien détaillés
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348d8522cfa80b7070a6a8ac9d02ceeae076148e)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d97415b2a3d9fc852ac0229cb6274a0497b553)
![I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,{\mathrm d}x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac 12}\int _{1}^{2}x\,{\mathrm d}x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac 12}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe152a0166cf57a96798f2bbaf6b75fc8320cd55)
![I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,{\mathrm d}x=\left[x(x\ln(x)-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,{\mathrm d}x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c955eda98fe70aa05913b3c73a63d8d2d7fb2d)
![{\begin{aligned}\int _{0}^{{{\frac \pi 3}}}x\cos(x)\,{\mathrm d}x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{{{\frac {\pi }3}}}-\int _{0}^{{{\frac {\pi }3}}}u'(x)v(x)\,{\mathrm d}x\\&=\left[x\sin(x)\right]_{0}^{{{\frac \pi 3}}}-\int _{0}^{{{\frac \pi 3}}}\sin(x)\,{\mathrm d}x\\&={\frac {\pi {\sqrt 3}}6}+\left[\cos(x)\right]_{0}^{{{\frac {\pi }3}}}\\&={\frac {\pi {\sqrt 3}}6}-{\frac 12}\ .\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b33dccc40353601b57e98bfc2361c2047764c6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{x}\ln(u)\,\mathrm {d} u&=\int _{1}^{x}1\times \ln(u)\,\mathrm {d} u\\&=\left[u\ln(u)\right]_{1}^{x}-\int _{1}^{x}{\frac {u}{u}}\,\mathrm {d} u\\&=x\ln(x)-\left[u\right]_{1}^{x}\\&=x\ln(x)-x+1\ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0df74dfbe104d5fd071cf0ff3ad7e4121fa1ad3)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n+1}\int _{a}^{b}u^{(n+1)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80a5b3119e8d7493d4c90510a8d6ef8c12a1b06)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc48e1e314d6366955762c189b6cd00b44bf2830)
![{\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e833ac7e974971dcc5ad8a378998c4c5d20d5a61)
