Intégration par parties

En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où u et v sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x$$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x$

ou encore, en remarquant que u' (x) dx et v' (x) dx sont respectivement les différentielles de u et de v :

$\int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.$$\int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.$

Démonstration

La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :

$(uv)'=u'v+uv'.$$(uv)'=u'v+uv'.$

On a donc

$uv'=(uv)'-u'v$$uv'=(uv)'-u'v$

puis :

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(uv)'(x)~\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)~\mathrm {d} x,$$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)~\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(uv)'(x)~\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)~\mathrm {d} x,$

ce qui, d'après le second théorème fondamental de l'analyse, donne l'égalité annoncée.

Variante de « démonstration » avec la notation de Leibniz

Soit deux fonctions dérivables u et v. La règle de la dérivation d'un produit nous donne :

${\frac {\mathrm {d} (uv)}{\mathrm {d} x}}=u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}+v{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}.$${\frac {{\mathrm d}(uv)}{{\mathrm d}x}}=u{\frac {{\mathrm d}v}{{\mathrm d}x}}+v{\frac {{\mathrm d}u}{{\mathrm d}x}}.$

En « multipliant par dx » on obtient :

$\mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u.$${\mathrm d}(uv)=u{\mathrm d}v+v{\mathrm d}u.$

On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :

$u\mathrm {d} v=\mathrm {d} (uv)-v\mathrm {d} u.$$u{\mathrm d}v={\mathrm d}(uv)-v{\mathrm d}u.$

Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :

$\int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=\int _{a}^{b}\mathrm {d} (uv)-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.$$\int _{a}^{b}u\,{\mathrm d}v=\int _{a}^{b}{\mathrm d}(uv)-\int _{a}^{b}v\,{\mathrm d}u.$

On obtient alors :

$\int _{a}^{b}u\,\mathrm {d} v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,\mathrm {d} u.$$\int _{a}^{b}u\,{\mathrm d}v=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v\,{\mathrm d}u.$

Choix des variables

L'un des deux choix possibles pour les fonctions u et v' peut s'avérer meilleur que l'autre.

$I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x$$I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,{\mathrm d}x$

Si l'on choisit u = ln et v' (x) = x, on a u' (x) = 1/x et l'on peut prendre v(x) = x²/2, d'où :

$I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}.$$I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,{\mathrm d}x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac 12}\int _{1}^{2}x\,{\mathrm d}x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac 12}\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{1}^{2}.$

En revanche, si l'on choisit u(x) = x et v' = ln, on a u' = 1 et l'on peut prendre v(x) = xln(x) – x, d'où :

$I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[x(x\ln(x)-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,\mathrm {d} x$$I=\int _{1}^{2}x\ln(x)\,{\mathrm d}x=\left[x(x\ln(x)-x)\right]_{1}^{2}-\int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,{\mathrm d}x$

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale (elle s'y ramène cependant puisque $\scriptstyle \int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,\mathrm {d} x=I-3/2$$\scriptstyle \int _{1}^{2}(x\ln(x)-x)\,{\mathrm d}x=I-3/2$).

Exemples

• Effectuons le calcul de $\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos(x)\,\mathrm {d} x$$\int _{0}^{{{\frac \pi 3}}}x\cos(x)\,{\mathrm d}x$ grâce à une intégration par parties.
  Pour cela, posons u(x) = x, de telle sorte que u' = 1, et v' = cos, de telle sorte que v = sin, par exemple (i. e. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient : ${\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}x\cos(x)\,\mathrm {d} x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\sin(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}-\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\sin(x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}+\left[\cos(x)\right]_{0}^{\frac {\pi }{3}}\\&={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}-{\frac {1}{2}}\ .\end{aligned}}$${\begin{aligned}\int _{0}^{{{\frac \pi 3}}}x\cos(x)\,{\mathrm d}x&=\left[u(x)v(x)\right]_{0}^{{{\frac {\pi }3}}}-\int _{0}^{{{\frac {\pi }3}}}u'(x)v(x)\,{\mathrm d}x\\&=\left[x\sin(x)\right]_{0}^{{{\frac \pi 3}}}-\int _{0}^{{{\frac \pi 3}}}\sin(x)\,{\mathrm d}x\\&={\frac {\pi {\sqrt 3}}6}+\left[\cos(x)\right]_{0}^{{{\frac {\pi }3}}}\\&={\frac {\pi {\sqrt 3}}6}-{\frac 12}\ .\end{aligned}}$
• Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.

Généralisations

• On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C¹ par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
• Par récurrence, on peut généraliser ce théorème aux fonctions de classe Cⁿ⁺¹ : $\int _{a}^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n+1}\int _{a}^{b}u^{(n+1)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x.$$\int _{a}^{b}u(x)v^{(n+1)}(x)\,\mathrm {d} x=\left[\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-k)}\right]_{a}^{b}+(-1)^{n+1}\int _{a}^{b}u^{(n+1)}(x)v(x)\,\mathrm {d} x.$
• Si, sur [a, b], u est absolument continue et g est intégrable, alors $\int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v,$$\int _{a}^{b}ug=[uv]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'v,$ pour toute fonction v telle que$\forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g.$$\forall x\in [a,b]\quad v(x)=v(a)+\int _{a}^{x}g.$La démonstration est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv.

Voir aussi

Articles connexes

• Formule sommatoire d'Abel
• Théorème d'intégration par parties pour l'intégrale de Stieltjes

Lien externe

Nombreux exemples d'intégration par parties bien détaillés