Intégration par parties

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En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.

La formule-type est la suivante, où u et v sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et a et b deux réels de leur intervalle de définition :

\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx =[uv]_a^b- \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx

ou encore, en remarquant que u' (x) dx et v' (x) dx sont respectivement les différentielles de u et de v :

\int_a^b u\,\mathrm dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du.

Démonstration[modifier | modifier le code]

La démonstration du théorème découle directement de la règle du produit :

(uv)'=u'v+uv'.

On a donc

uv'=(uv)'-u'v

puis :

\int_a^bu(x)v'(x)~\mathrm dx=\int_a^b(uv)'(x)~\mathrm dx-\int_a^b u'(x)v(x)~\mathrm dx,

ce qui, d'après le second théorème fondamental de l'analyse, donne l'égalité annoncée.

Choix des variables[modifier | modifier le code]

L'un des deux choix possibles pour les fonctions u et v' peut s'avérer meilleur que l'autre.

I=\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx

Si l'on choisit u = ln et v' (x) = x, on a u' (x) = 1/x et l'on peut prendre v(x) = x2/2, d'où :

 I=\int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^2 - \frac12 \int_1^2x\,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_1^2 - \frac12\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2.

En revanche, si l'on choisit u(x) = x et v' = ln, on a u' = 1 et l'on peut prendre v(x) = xln(x) – x, d'où :

I= \int_1^2x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[x(x\ln(x) - x)\right]_1^2 - \int_1^2(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale (elle s'y ramène cependant puisque \scriptstyle\int_1^2(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx = I-3/2).

Exemples[modifier | modifier le code]

Généralisations[modifier | modifier le code]

  • On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
  • Par récurrence, on peut généraliser ce théorème aux fonctions de classe Cn+1 :
    \int_a^bu(x)v^{(n+1)}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{k=0}^n(-1)^ku^{(k)}v^{(n-k)}\right]_a^b + (-1)^{n+1} \int_a^bu^{(n+1)}(x)v(x) \,\mathrm dx.
  • Si, sur [a, b], u est absolument continue et g est intégrable, alors
    \int_a^bug=[uv]_a^b-\int_a^bu'v,
    pour toute fonction v telle que\forall x\in[a,b]\quad v(x)=v(a)+\int_a^xg.La démonstration[1] est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de v et uv.

Référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Stanisław Hartman (de) et Jan Mikusiński, The Theory of Lebesgue Measure and Integration, Pergamon,‎ (lire en ligne), p. 103.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Nombreux exemples d'intégration par parties bien détaillés