Théorème de réarrangement de Riemann

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En mathématiques, le théorème de réarrangement de Riemann est un théorème, nommé en l'honneur du mathématicien Bernhard Riemann, d'après lequel si une série à termes réels est semi-convergente, alors on peut réarranger ses termes pour qu'elle converge vers n'importe quel réel, ou même tende vers plus ou moins l'infini. Il en résulte que dans , toute série inconditionnellement convergente est absolument convergente (autrement dit : toute famille sommable est absolument sommable).

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit (un)n∈ℕ une suite à termes réels dont la série associée est semi-convergente, c'est-à-dire que

.

Alors, pour tout couple tel que , il existe une permutation σ de ℕ telle que la suite des sommes partielles de la série de terme général vérifie :

[1].

En particulier, pour tout , il existe une permutation σ de ℕ telle que

.

Exemple[modifier | modifier le code]

Prenons l'exemple de la série harmonique alternée. On définit donc une suite (un)n∈ℕ par

dont la série converge d'après le critère de convergence des séries alternées, mais ne converge pas absolument car la série harmonique diverge. Notons ℓ sa somme (on la connaît : ℓ = ln(2)).

En réarrangeant les termes, la série devient :

Conclusion : la permutation choisie est telle que la nouvelle série converge vers la moitié de la somme de la série de départ.

En généralisant le procédé, on peut faire converger un réarrangement de cette série vers n'importe quel nombre réel α :

Par exemple en sommant alternativement (dans l'ordre) a termes positifs et b termes négatifs (la série alternée elle-même correspond à a = b = 1 et le cas précédent correspond à a = 1 et b = 2), on obtient une série qui converge vers ln(2a/b), d'après le développement suivant, quand n tend vers l'infini, de la somme de p = an termes positifs et q = bn ou b(n – 1) termes négatifs, qui utilise un développement asymptotique de la suite Hn des sommes partielles de la série harmonique :

Plus généralement, en choisissant alternativement pn termes positifs et qn termes négatifs avec pn/qn r = e/4, la somme du réarrangement sera, de même, ln(2r) = α.

Construction de la permutation[modifier | modifier le code]

On construit une permutation σ de ℕ de la façon suivante. On commence à sommer les termes positifs ou nuls (sans en omettre) jusqu'à dépasser α, puis tous les termes strictement négatifs jusqu'à ce que la somme partielle soit strictement inférieure à α. Puis on itère le procédé, en sommant les termes positifs à partir de là où on s'était arrêté, puis les termes négatifs, etc.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Ernst Steinitz a démontré que pour toute série semi-convergente à termes dans un espace vectoriel réel de dimension finie, l'ensemble des sommes des « réarrangements » qui convergent forme un sous-espace affine de dimension non nulle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une démonstration, suivre par exemple le lien ci-dessous vers la leçon sur les séries, sur Wikiversité.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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