Série des inverses des nombres premiers

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En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général 1/pi désigne le -ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant ; elle diverge vers l'infini :


Preuve par l'analyse[modifier | modifier le code]

La preuve suivante est due à Paul Erdős[1].

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel suffisamment grand tel que :

Définissons comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les premiers nombres premiers peuvent diviser , il y a au plus choix pour . Conjointement avec le fait qu'il y a au plus x valeurs possibles pour , cela nous donne :

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à et divisibles par un nombre premier différent des premiers est égal à .

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à et divisibles par est au plus , nous obtenons :

ou encore

Mais cela est impossible pour tout supérieur à , d'où une contradiction.

Preuve par un produit eulérien[modifier | modifier le code]

Comme on a l'équivalence

il suffit de montrer que la série de terme général diverge. Or cette série est à termes positifs, donc sa somme est égale à la borne supérieure de ses sommes partielles :

est la somme des inverses de tous les entiers naturels n'admettant pas d'autres diviseurs premiers que les m premiers, donc

si bien que finalement,

Une variante plus savante de cette démonstration consiste à utiliser (voir l'article Produit eulérien) que

et que (par comparaison série-intégrale) quand s tend vers 1 par valeurs strictement supérieures,

Annexes[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. (de) Paul Erdős, « Über die Reihe Σ 1/p », Mathematica (Zutphen B), no 7,‎ , p. 1-2 (lire en ligne) ; elle est redonnée au premier chapitre de Raisonnements divins.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?, sur le site Prime Pages de Chris Caldwell