Série des inverses des nombres premiers

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En mathématiques, la série des inverses des nombres premiers est la série de terme général 1pi désigne le -ème nombre premier. Le terme général de la série tend vers zéro, cependant, la suite (croissante) des sommes partielles n'est pas convergente pour autant : Leonhard Euler a démontré en 1737[1] que

,

ce qui renforce à la fois le théorème d'Euclide sur les nombres premiers et celui d'Oresme sur la série harmonique.

Preuve par l'analyse[modifier | modifier le code]

La preuve suivante est due à Paul Erdős[2].

Supposons par l'absurde que la série des inverses des nombres premiers soit convergente. Il existe donc un entier naturel tel que :

Définissons comme le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à et qui ne sont pas divisibles par un nombre premier autre que les premiers. Un tel entier peut être écrit sous la forme est entier sans facteur carré.

Puisque seulement les premiers nombres premiers peuvent diviser , il y a au plus choix pour . Conjointement avec le fait qu'il y a au plus valeurs possibles pour , cela nous donne :

Le nombre d'entiers strictement positifs inférieurs à et divisibles par un nombre premier différent des premiers est égal à .

Puisque le nombre d'entiers inférieurs à et divisibles par est au plus , nous obtenons :

ou encore

Mais cela est impossible pour tout strictement supérieur à , d'où une contradiction.

En affinant cette preuve par l'absurde, on peut même la transformer en une minoration explicite des sommes partielles de la série[3] :

donc
[4],

ce qui confirme une partie[5] de l'intuition d'Euler :

« La somme de la série des inverses des nombres premiers […] est infiniment grande ; mais infiniment moins que la somme de la série harmonique […]. De plus, la première est comme le logarithme de la seconde[6]. »

Preuve par un produit eulérien[modifier | modifier le code]

Connaissant l'équivalent

quand ,

il suffit de montrer la divergence de la série de terme général , ou encore de son exponentielle, le produit (a posteriori infini) des . Or

(pour les égalités (1) et (2), voir l'article « Produit eulérien »).

Annexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Divergence of the sum of the reciprocals of the primes » (voir la liste des auteurs).

  1. (la) « Variae observationes circa series infinitas » (E 072).
  2. (de) Paul Erdős, « Über die Reihe Σ 1p », Mathematica (Zutphen B), no 7,‎ , p. 1-2 (lire en ligne) ; elle est reproduite au premier chapitre de Raisonnements divins.
  3. Gérald Tenenbaum et Michel Mendès France, Les nombres premiers, entre l'ordre et le chaos, Dunod, (1re éd. 2011) (lire en ligne), p. 22-23.
  4. On a majoré par 2 via une somme télescopique (ou une comparaison série-intégrale), mais on peut aussi utiliser sa valeur exacte : π2/6.
  5. Voir « Constante d'Euler-Mascheroni » et « Constante de Meissel-Mertens ».
  6. E 072, th. 19.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?, sur le site Prime Pages de Chris Caldwell