Suite récurrente linéaire

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, on appelle suite récurrente linéaire d’ordre p toute suite à valeurs dans un corps commutatif K (par exemple ou  ; on ne se placera que dans ce cas dans cet article) définie pour tout par une relation de récurrence linéaire de la forme

, , … sont p scalaires fixés de K ( non nul).

Une telle suite est entièrement déterminée par la donnée de ses p premiers termes et par la relation de récurrence.

Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques.

L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre supérieur se ramène à un problème d'algèbre linéaire. L'expression du terme général d'une telle suite est possible pour peu qu'on soit capable de factoriser un polynôme qui lui est associé, appelé polynôme caractéristique ; le polynôme caractéristique associé à une suite vérifiant la relation de récurrence ci-dessus est :

Son degré est ainsi égal à l'ordre de la relation de récurrence. En particulier, dans le cas des suites d'ordre 2, le polynôme est de degré 2 et peut donc être factorisé à l'aide d'un calcul de discriminant. Ainsi, le terme général des suites récurrentes linéaires d'ordre 2, peut être exprimé en utilisant seulement les deux premiers termes, quelques valeurs constantes, quelques opérations élémentaires de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication, exponentielle) et les fonctions sinus et cosinus (si le corps des scalaires est le corps des réels). Une des suites de ce type est la célèbre suite de Fibonacci, qui peut s'exprimer à partir de puissances faisant intervenir le nombre d'or.

Suite récurrente linéaire d’ordre 1[modifier | modifier le code]

Les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 sont les suites géométriques.

Si la relation de récurrence est , le terme général est .

Suite récurrente linéaire d’ordre 2[modifier | modifier le code]

a et b étant deux scalaires fixés de K avec b non nul, la relation de récurrence est

Les scalaires r tels que la suite vérifie (R) sont les solutions de l’équation du second degré . Le polynôme est alors appelé le polynôme caractéristique de la suite. Son discriminant est . Il faudra alors distinguer plusieurs cas, selon le nombre de racines du polynôme caractéristique.

Théorème[1] —  Le terme général d'une suite à valeurs dans K et vérifiant (R) est :

  1. si et sont deux racines distinctes (dans K) du polynôme ,
  2. si est racine double du polynôme ,

avec paramètres dans K déterminés par les deux premières valeurs de la suite.

Le cas 1 se produit par exemple si et si le discriminant est strictement positif, ou si et . De plus, si les deux racines du polynôme sont deux complexes conjugués et , alors le terme général d'une telle suite s'écrit également[1] :

  • avec A et B paramètres dans K ( ou , selon qu'on s'intéresse aux suites réelles ou complexes) déterminés par les deux premières valeurs de la suite.

Le cas 2 se produit lorsque et alors, la racine double est .

On ne perd rien à la généralité de la suite en supposant que celle-ci est définie sur tout et pas seulement à partir de . En effet, l'étude d'une suite u qui n’est définie qu’à partir de se ramène à celle de la suite v définie sur ℕ par .

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

Si une suite u vérifie

alors, elle peut être étendue aux indices négatifs et reliée aux puissances de la matrice

(inversible puisque b ≠ 0) par :

.

Ceci permet de montrer que pour v égale à u ou à toute autre suite vérifiant la même relation de récurrence (R) et pour tous entiers i, j, k, l et r[2],[3] :

.

En particulier :

.

Suite récurrente d’ordre p[modifier | modifier le code]

Sous-espace vectoriel de dimension p[modifier | modifier le code]

Si l'on appelle la relation de récurrence :

pour tout entier n,

et si l'on note , l’ensemble des suites à valeurs dans K et vérifiant , on démontre que est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites à valeurs dans K. Cela tient à la linéarité de la relation de récurrence.

De plus, ce sous-espace est de dimension p. En effet, il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels entre et  : à chaque suite u de , on associe le p-uplet . Il suffit alors de connaître une famille libre de p suites vérifiant , l’ensemble est alors engendré par cette famille libre.

Terme général[modifier | modifier le code]

La recherche du terme général et des suites particulières s’effectue en travaillant sur . À chaque suite on associe la suite définie par

La relation de récurrence sur induit une relation de récurrence sur

(A est la matrice compagnon du polynôme caractéristique de la suite).

Le terme général de la suite U est alors déterminé par[4]

Le problème semble alors terminé. Mais la réelle difficulté consiste alors à calculer … On préfère déterminer une base de .

Recherche d'une base[modifier | modifier le code]

Le polynôme caractéristique de la matrice A est . Ce n'est pas un hasard si on le retrouve pour caractériser les suites vérifiant .

On note f la transformation linéaire qui, à une suite associe la suite définie par . La condition « u vérifie  » se traduit alors par P(f)(u) = 0. L'ensemble est donc le noyau de P(f). Si P est un polynôme scindé dans K (ce qui est toujours vrai si K = ℂ), il existe k racines et k exposants tel que . Le noyau de P(f) est alors la somme directe des noyaux des . Il suffit donc de trouver une base de chacun de ces noyaux pour déterminer une base de .

On peut montrer que toute suite de terme général est élément du noyau de pour peu que le degré de Q soit inférieur strictement à . Cette démonstration se fait par récurrence sur . Comme les suites , pour j = 0 à forment une partie libre de éléments[5], la famille de toutes les suites , pour j = 0 à et pour i = 1 à k forme une famille libre de éléments de (de dimension p) donc une base de . Les éléments de sont donc des sommes de suites dont le terme général est avec degré de Q strictement inférieur à .

Retour à la récurrence d'ordre 2[modifier | modifier le code]

Si le polynôme caractéristique se scinde en alors les polynômes Q sont de degré 0 et les éléments de sont des suites dont le terme général est .

Si le polynôme caractéristique se scinde en alors les polynômes Q sont de degré 1 et les éléments de sont des suites dont le terme général est .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Suites récurrentes d'ordre deux » sur la Wikiversité.
  2. (en) Robert C. Johnson, « Fibonacci numbers and matrices », sur Université de Durham, , p. 40 (A.10).
  3. Pour une démonstration, voir par exemple l'exercice corrigé correspondant sur la Wikiversité.
  4. Jean-Marie Monier, Algèbre et géométrie PC-PSI-PT : Cours, méthodes et exercices corrigés, Dunod, , 5e éd. (lire en ligne), p. 125.
  5. En réalité, ce résultat n'est vrai que si , mais le cas d'une racine nulle se traite aisément par décalage d'indice.

Articles connexes[modifier | modifier le code]