Limites inférieure et supérieure

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Exemple de recherche de limites inférieure et supérieure. La suite xn est représentée en bleu.

En analyse réelle, les limites inférieures et supérieures sont des outils d'étude des suites de nombres réels. Une telle suite n'est en général ni monotone, ni convergente. L'introduction des limites supérieure et inférieure permet de retrouver, partiellement, de telles propriétés. Il s'agit d'un cas particulier de valeurs d'adhérence de la suite.

Définitions[modifier | modifier le code]

Si (u_n)_{n\ge 0} est une suite bornée de réels, les suites définies par


v_n=\sup\{u_k\mid k\ge n\}\text{ et }w_n=\inf\{u_k\mid k\ge n\}

sont respectivement décroissante et croissante. De plus, pour tout n,

w_n\le u_n\le v_n.

Ce sont donc des suites convergentes, d'après le théorème de la limite monotone. On pose

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} v_n\text{ et }\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} w_n,

ou, ce qui est équivalent :

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=\inf(v_n)_{n\ge 0}\text{ et }\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=\sup(w_n)_{n\ge 0}.

Ces nombres sont appelés limite supérieure et limite inférieure de la suite (u_n)_{n\ge 0}.

Cette définition s'étend telle quelle aux suites réelles non nécessairement bornées ou même aux suites à valeurs dans = ℝ ∪ {−∞, +∞} et donne alors, par exemple :

\limsup_{n\rightarrow +\infty} u_n=+\infty si la suite n'est pas majorée par un réel,

et

\liminf_{n\rightarrow +\infty} u_n=-\infty si la suite n'est pas minorée par un réel.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • \limsup_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}(-1)^n=-1
  • \limsup_{n\rightarrow +\infty}\sin n=1,\ \liminf_{n\rightarrow +\infty}\sin n =-1

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • \liminf(-u_n)=-\limsup u_n.
  • Les limites inférieure et supérieure d'une suite u à valeurs dans le compact sont respectivement sa plus petite et sa plus grande valeur d'adhérence, autrement dit[1], par exemple pour la limite supérieure L de u :
    • Pour tout L' > L, il n'y a qu'un nombre fini de k tels que uk > L'.
      En effet, la convergence vers L de la suite v montre que vn ≤ L' pour n assez grand, et pour un tel n on a :\forall k\ge n,\quad u_k\le v_n\le L'.
    • Pour tout L" < L, il y a une infinité de k tels que uk > L".
      En effet, pour tout n, L" < vn. D'après la définition même de la borne supérieure (plus petit des majorants), il existe k ≥ n tel que L" < uk.

(La finitude de lim sup — ou de lim inf — pour une suite bornée fournit donc une preuve sophistiquée d'un cas particulier — par ailleurs élémentaire — du théorème de Bolzano-Weierstrass.)

  • D'après le point précédent, les limites inférieure et supérieure d'une suite sont égales si et seulement si la suite admet une limite (finie ou infinie), et la limite est alors cette valeur commune.

Application : formule de Hadamard[modifier | modifier le code]

La formule de Hadamard donne l'expression du rayon de convergence R d'une série entière \scriptstyle \ \sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n\ en termes d'une limite supérieure : \frac1R = \limsup_{n\to\infty} \left(|a_n|^{1/n}\right). Cette formule découle de l'application de la règle de Cauchy.

Généralisations[modifier | modifier le code]

On peut généraliser la notion de suite numérique et de ses limites supérieure et inférieure dans deux directions : en modifiant l'ensemble ℝ dans lequel la suite prend ses valeurs ou l'ensemble ℕ des indices.

Suites dans un treillis complet[modifier | modifier le code]

La définition des limites supérieure et inférieure pour une suite numérique correspond à la relation d'ordre sur la droite réelle achevée, mais s'applique encore pour une suite à valeurs dans n'importe quel treillis complet, c'est-à-dire n'importe quel ensemble ordonné où toute partie possède une borne supérieure et une borne inférieure :

\limsup u_n=\inf_n\left(\sup_{k\ge n} u_k\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf u_n=\sup_n\left(\inf_{k\ge n} u_k\right).

En particulier dans le treillis de l'ensemble des parties d'un ensemble (ordonné par l'inclusion), \scriptstyle\ \limsup\ et \scriptstyle\ \liminf\ sont définies pour une suite \scriptstyle\ (A_n)_{n\ge 0}\ de parties par :

\limsup A_n=\cap_n\left(\cup_{k\ge n}A_k\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf A_n=\cup_n\left(\cap_{k\ge n} A_k\right).

On peut remarquer que la fonction indicatrice de la limite supérieure de la suite (A_n) est égale à la limite supérieure de la suite des fonctions indicatrices des A_n, et de même pour les limites inférieures.

\scriptstyle\ \limsup A_n\ est l'ensemble des \scriptstyle\ x\in E\ qui appartiennent à \scriptstyle\ A_n\ pour une infinité d'indices \scriptstyle\ n\ , et \scriptstyle\ \liminf A_n\ est l'ensemble des \scriptstyle\ x\in E\ qui appartiennent à tous les \scriptstyle\ A_n\ à partir d'un certain rang. Ces notions jouent un rôle important en calcul des probabilités, dans la démonstration de la loi forte des grands nombres. Voir par exemple le lemme de Borel-Cantelli.

Suites généralisées[modifier | modifier le code]

La définition des limites supérieure et inférieure d'une suite (à valeurs dans ) s'étend telle quelle à une suite généralisée, c'est-à-dire à une famille (ui)i∊I d'éléments de indexée par un ensemble ordonné filtrant I qui n'est plus nécessairement l'ensemble des entiers naturels :

\limsup u_i=\inf_{i\in I}\left(\sup_{k\ge i} u_k\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf u_i=\sup_{i\in I}\left(\inf_{k\ge i} u_k\right).

Plus généralement, si X est un ensemble muni d'un filtre ℱ, les limites supérieure et inférieure suivant ce filtre[2] d'une fonction f de X dans sont définies par :

\limsup_{\mathcal F} f=\inf_{V\in\mathcal F}\left(\sup_{x\in V} f(x)\right)\qquad\text{et}\qquad\liminf_{\mathcal F} f=\sup_{V\in\mathcal F}\left(\inf_{x\in V} f(x)\right)

et l'on peut, dans les seconds membres, remplacer le filtre ℱ par l'une quelconque de ses bases.

En particulier, si \scriptstyle\ f:X\to\R \ est une fonction numérique définie sur un espace topologique, on peut définir \scriptstyle\ \limsup_{x\to a}f(x)\ . Cela permet par exemple de définir les nombres dérivés[3] d'une fonction \scriptstyle\ f:\R\to\R\ . Ce sont les « nombres » (éventuellement égaux à ±∞)

\begin{align}
\limsup_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}h,&\qquad \liminf_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}h,
\\
\limsup_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}h,&\qquad \liminf_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}h.
\end{align}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École Polytechnique,‎ 2009 (ISBN 978-2-73021563-3, lire en ligne), p. 63.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, TG IV.23.
  3. Henri-Léon Lebesgue, Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, AMS (réimpr. 2003), 3e éd. (ISBN 978-0-82183498-5), 71.