Sous-suite

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En mathématiques, une sous-suite (ou une suite extraite) est une suite obtenue en ne prenant que certains éléments (une infinité) d'une suite de départ. Cette opération est parfois appelée extraction.

Formellement, une suite est une application définie sur l'ensemble ℕ des entiers naturels. On la note classiquement . Une sous-suite ou suite extraite est la composée de u par une application strictement croissante [1].

Elle s'écrit donc sous la forme . Dans ce contexte, l'application est appelée extractrice[1].

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Soit une suite d'éléments d'un espace topologique X qui converge vers , alors toute suite extraite de converge vers  ; par contraposition, lorsque X est séparé ou plus généralement à unique limite séquentielle, si deux suites extraites de ont des limites différentes, alors la suite diverge.
  • Les limites des sous-suites convergentes d'une suite d'un espace topologique X sont des valeurs d'adhérence de la suite . Si X est métrisable, ou plus généralement à bases dénombrables de voisinages, la réciproque est vraie : toute valeur d'adhérence d'une suite est limite d'une de ses sous-suites.
  • De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous-suite convergente (voir l'article sur le théorème de Bolzano-Weierstrass pour plus de détails ; l'une des démonstrations utilise le lemme suivant).
  • Lemme des pics[2] — Toute suite à valeurs dans un ensemble totalement ordonné possède une sous-suite monotone (au sens large).
Exemples dans ℝ :
  • la suite (–1)n possède deux sous-suites constantes (donc monotones) : la sous-suite (x2n) des termes de rangs pairs, constamment égale à 1 et la sous-suite (x2n+1) des termes de rangs impairs, constamment égale à –1 ;
  • le lemme des pics affirme l'existence d'une sous-suite monotone, mais ne fournit pas de méthode pour déterminer celle-ci (c.-à-d. pour calculer l'extractrice). Par exemple, il existe des entiers n1 < n2 < … < nk < … tels que sin(nk) soit monotone, mais à ce jour, on n'en possède pas d'expression de forme fermée nk = f(k).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Jean-Marie Monier, Analyse MPSI, Paris, Dunod, , 5e éd. (ISBN 978-2-10-049837-6).
  2. Présenté dans le cas des suites réelles par (en) Michael Spivak, Calculus, (lire en ligne), chap. 21 (« Infinite Sequences »), p. 378 (p. 451 de l'éd. de 2006 sur Google Livres).

Articles connexes[modifier | modifier le code]